知识节点：微积分基本定理

0. 基本信息

课程名称

高等微积分

课程ID

CAL

章节/单元

一元积分学

小节

积分定理与计算

知识点名称

名称：微积分基本定理其他名称：微积分学基本定理相关名称：牛顿 - 莱布尼兹公式、变限积分的导数

知识点ID

01-CAL-XX-XX

知识点类型

概念

知识点层级

核心

难度

3

重要程度

5

建议学习时长

30 分钟

填写与复核

填写人： 刘正韬
复核人： 张三
版本与日期： v0.1, 2026-07-23

1. 知识背景与应用

1.1 知识点概述

微积分基本定理揭示了微分与积分之间的内在联系：求导研究量的瞬时变化率，积分研究量的累积，二者在一定条件下互为逆运算。

借助微积分基本定理，计算定积分时通常不再需要直接处理黎曼和的极限，而只需找到被积函数的一个原函数。因此，它既是微分学与积分学之间的桥梁，也是定积分计算和实际应用的理论基础。

许多物理与工程问题，如根据速度求位移、根据流量求总流量，都可以借助微积分基本定理解决。

1.2 与其他课程或知识点的联系

关联知识点 1

相关知识点ID： 01-CAL-YY-YY

相关知识点名称： 导数的概念

关系类型： 前置

关系说明： 微积分基本定理需要用导数描述积分上限函数的变化率。理解导数的定义、几何意义和运算法则，是理解“累积量的导数等于当前变化率”的基础。

关联知识点 2

相关知识点ID： 01-CAL-ZZ-ZZ

相关知识点名称： 定积分的概念

关系类型： 前置

关系说明： 变上限积分函数和牛顿 — 莱布尼茨公式都建立在定积分的定义及其性质之上。理解定积分表示的有向面积，有助于把握定理的几何意义。

关联知识点 3

相关知识点ID： 01-CAL-WW-WW

相关知识点名称： 原函数的概念

关系类型： 前置

关系说明： 微积分基本定理通过原函数计算定积分。掌握原函数和不定积分的概念，是正确使用牛顿—莱布尼茨公式的必要条件。

关联知识点 4

相关知识点ID： 01-CAL-DD-DD

相关知识点名称： 定积分的计算

关系类型： 后续

关系说明： 微积分基本定理为定积分的计算提供了基本思路：找出被积函数的原函数，进而将区间上的定积分转变为原函数端点值之差。

关联知识点 4

相关知识点ID： 01-CAL-EE-EE

相关知识点名称： 广义斯托克斯公式

关系类型： 包含

关系说明： 微积分基本定理实际上为广义斯托克斯定理的一维特例。

2. 知识点正文

2.1 知识点速览

设 \(a<b\)，函数 \(f\colon[a,b]\to\mathbb{R}\)。

微积分基本定理第一部分

若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上黎曼可积，并定义

\[ F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t,\qquad x\in[a,b], \]

则 \(F\) 在 \([a,b]\) 上连续。

若 \(f\) 在某点 \(x_0\in(a,b)\) 处连续，则 \(A\) 在 \(x_0\) 处可微，并且

\[ F'(x_0)=f(x_0). \]

特别地，若 \(f\in C[a,b]\)，则 \(F\) 在 \((a,b)\) 上可微，且

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t=f(x), \qquad x\in(a,b). \]

因此，连续函数的变上限积分是该函数的一个原函数。

微积分基本定理第二部分（牛顿—莱布尼茨公式）

若 \(f\in \mathscr C[a,b]\)，且 \(F\) 是 \(f\) 的任意一个原函数，即

\[ F'(x)=f(x),\qquad x\in(a,b), \]

则

\[ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a). \]

通常记作

\[ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x =\left.F(x)\right|_a^b =F(b)-F(a). \]

更一般地，对任意 \(x_1,x_2\in[a,b]\)，都有

\[ \int_{x_1}^{x_2}f(x)\,\mathrm{d}x =F(x_2)-F(x_1). \]

微积分基本定理表明：对于连续函数，积分运算产生其原函数，而定积分等于任一原函数在积分区间两个端点处的函数值之差，从而在这一意义下，微分与积分互为逆运算。

2.2 变化率与累计量

设函数 \(f(t)\) 表示某个量在时刻 \(t\) 的变化率。从固定起点 \(a\) 到时刻 \(x\) 的累积量可以用定积分表示为

\[ F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t. \]

函数 \(F(x)\) 的几何意义是：当积分上限从 \(a\) 移动到 \(x\) 时，曲线 \(y=f(t)\) 与横轴之间有向面积的累积值，即变上限积分函数。

微积分基本定理示意图

当积分上限从 \(x\) 增加到 \(x+h\) 时，定积分的增量为

\[ \begin{aligned} F(x+h)-F(x) &=\int_a^{x+h}f(t)\,\mathrm{d}t -\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\\ &=\int_x^{x+h}f(t)\,\mathrm{d}t. \end{aligned} \]

因此，变上限积分函数在区间 \([x,x+h]\) 上的平均变化率为

\[ \frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \frac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)\,\mathrm{d}t. \]

如果 \(f\) 在 \(x\) 附近连续，并且 \(h\) 很小，那么 \(f(t)\) 在区间 \([x,x+h]\) 上的值都接近 \(f(x)\)，于是

\[ \int_x^{x+h}f(t)\,\mathrm{d}t \approx f(x)h. \]

从而有

\[ \frac{F(x+h)-F(x)}{h}\approx f(x). \]

令 \(h\to0\)，可得

\[ F'(x)=f(x). \]

它说明：变上限积分函数在某一点的瞬时变化率，等于该点处被积函数的值。

2.3 微积分基本定理第一部分

设函数 \(f\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，并定义变上限积分函数

\[ F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t, \qquad x\in[a,b]. \]

则 \(F\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 上可导，并且

\[ \boxed{F'(x)=f(x)}. \]

也就是说，

\[ \boxed{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t =f(x) }. \]

这就是微积分基本定理的第一部分。它表明，由连续函数 \(f\) 构造出的变上限积分函数 \(F\)，恰好是 \(f\) 的一个原函数。

证明思路

根据定积分对积分区间的可加性，

\[ F(x+h)-F(x) =\int_x^{x+h}f(t)\,\mathrm{d}t. \]

当 \(h\ne0\) 时，

\[ \frac{F(x+h)-F(x)}{h} = \frac{1}{h}\int_x^{x+h}f(t)\,\mathrm{d}t. \]

由积分中值定理，在 \(x\) 与 \(x+h\) 之间存在一点 \(\xi_h\)，使得

\[ \int_x^{x+h}f(t)\,\mathrm{d}t=f(\xi_h)h. \]

所以

\[ \frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(\xi_h). \]

当 \(h\to0\) 时，\(\xi_h\to x\)。由于 \(f\) 在 \(x\) 处连续，因此

\[ \lim_{h\to0}f(\xi_h)=f(x). \]

于是

\[ F'(x) = \lim_{h\to0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} =f(x). \]

2.4 微积分基本定理第二部分

设函数 \(f\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，函数 \(\Phi\) 是 \(f\) 的任意一个原函数，即

\[ \Phi'(x)=f(x). \]

则

\[ \boxed{ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x =\Phi(b)-\Phi(a) }. \]

这个公式称为牛顿—莱布尼茨公式，也可以写成

\[ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \left.\Phi(x)\right\rvert_a^b. \]

其中，

\[ \left.\Phi(x)\right\rvert_a^b =\Phi(b)-\Phi(a). \]

牛顿 — 莱布尼茨公式把定积分的计算转化为原函数在两个端点处函数值的相减，从而避免直接计算黎曼和的极限。

2.5 两部分定理之间的联系

根据微积分基本定理第一部分，

\[ F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t \]

是 \(f\) 的一个原函数。

如果 \(\Phi\) 是 \(f\) 的另一个原函数，那么两个原函数只相差一个常数，因此存在常数 \(C\)，使得

\[ F(x)=\Phi(x)+C. \]

令 \(x=a\)，因为

\[ F(a)=\int_a^a f(t)\,\mathrm{d}t=0, \]

所以

\[ 0=\Phi(a)+C, \]

即

\[ C=-\Phi(a). \]

因此，

\[ F(x)=\Phi(x)-\Phi(a). \]

令 \(x=b\)，便得到

\[ \int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t =\Phi(b)-\Phi(a). \]

这正是微积分基本定理的第二部分。

第一部分说明“积分产生原函数”，第二部分说明“利用原函数计算定积分”。二者共同揭示了微分与积分之间的逆运算关系。

2.6 对变限积分函数的求导

积分上限或积分下限中含有自变量的积分称为变限积分。对变限积分求导的基本依据是微积分基本定理，并在积分限为复合函数时需结合链式法则。

如果积分上限是关于 \(x\) 的函数，即

\[ F(x)=\int_a^{v(x)}f(t)\,\mathrm{d}t, \]

那么由微积分基本定理和链式法则，

\[ \boxed{ F'(x)=f\left(v(x)\right)v'(x) }. \]

如果变量出现在积分下限，即

\[ F(x)=\int_{u(x)}^a f(t)\,\mathrm{d}t, \]

利用积分限交换公式

\[ \int_{u(x)}^a f(t)\,\mathrm{d}t = -\int_a^{u(x)}f(t)\,\mathrm{d}t, \]

可得

\[ \boxed{ F'(x)=-f\left(u(x)\right)u'(x) }. \]

更一般地，如果积分的上限和下限都随 \(x\) 变化，即

\[ F(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\,\mathrm{d}t, \]

则

\[ \boxed{ F'(x) = f\left(v(x)\right)v'(x) - f\left(u(x)\right)u'(x) }. \]

这个公式可以概括为

\[ \text{上限对应项}-\text{下限对应项}. \]

2.7 基本计算示例

示例1：利用原函数计算定积分

计算

\[ \int_0^2(3x^2+2)\,\mathrm{d}x. \]

被积函数 \(3x^2+2\) 的一个原函数是

\[ \Phi(x)=x^3+2x. \]

根据牛顿—莱布尼茨公式，

\[ \begin{aligned} \int_0^2(3x^2+2)\,\mathrm{d}x &=\left[x^3+2x\right]_0^2\\ &=(2^3+2\cdot2)-(0^3+2\cdot0)\\ &=12. \end{aligned} \]

示例2：求积分上限函数的导数

设

\[ F(x)=\int_1^x\ln(1+t)\,\mathrm{d}t. \]

由于被积函数 \(\ln(1+t)\) 连续，根据微积分基本定理第一部分，

\[ F'(x)=\ln(1+x). \]

求解这类问题时，不需要先求出 \(\ln(1+t)\) 的原函数。

示例3：积分上限是复合函数

设

\[ G(x)=\int_1^{x^2}\ln(1+t)\,\mathrm{d}t. \]

令

\[ F(u)=\int_1^u\ln(1+t)\,\mathrm{d}t, \]

则

\[ G(x)=F(x^2). \]

由微积分基本定理，

\[ F'(u)=\ln(1+u). \]

再利用链式法则，得到

\[ \begin{aligned} G'(x) &=F'(x^2)\cdot2x\\ &=2x\ln(1+x^2). \end{aligned} \]

因此，

\[ \boxed{G'(x)=2x\ln(1+x^2)}. \]

示例4：上下限都随自变量变化的积分函数求导

设

\[ F(x)=\int_{x^2}^{2x}\cos t\,\mathrm{d}t. \]

根据变限积分求导公式，

\[ \begin{aligned} F'(x) &=\cos(2x)\cdot(2x)' -\cos(x^2)\cdot(x^2)'\\ &=2\cos(2x)-2x\cos(x^2). \end{aligned} \]

因此，

\[ \boxed{ F'(x)=2\cos(2x)-2x\cos(x^2) }. \]

附录：主要依据与修订

主要依据

《数学分析教程》（常庚哲, 史济怀, 高等教育出版社）p. 267

复核确认

[ ] 基本信息与 Excel 一致。
[ ] 关联知识点与 Excel 一致。
[ ] 正文符合当前课程的教学范围。
[ ] 关键概念、公式、推导、图示和示例准确。
[ ] 正文易于同学连续阅读，不是机械拼接的栏目。
[ ] 未加入资料清单、题库、自测、答案或判分规则。

修订记录

版本	日期	修改人	修改内容	复核结论
v0.1	2026-07-23	刘正韬	初稿	待复核