知识节点：功能单元电路-二阶动态电路

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0. 基本信息

课程名称

电子电路与系统基础

课程ID

{课程ID}

章节/单元

{章节/单元}

小节

{小节}

知识点名称

功能单元电路-二阶动态电路

知识点ID

{项目组统一定义的知识点ID}

知识点类型

{概念 / 方法 / 综合}

知识点层级

{核心 / 一般 / 拓展}

难度

{1 / 2 / 3 / 4 / 5}

重要程度

{1 / 2 / 3 / 4 / 5}

建议学习时长

{建议净学习时长，例如 30 分钟}

填写与复核

填写人： 刘牧杨 复核人： {姓名}
版本与日期： v0.1，2026-07-23

1. 知识背景与应用

1.1 知识点概述

{简要说明这个知识点是什么、为什么需要学习，以及它能够解决什么问题。}

1.2 与其他课程或知识点的联系

按实际数量复制或删除“关联知识点”小节。此处内容应与 Excel 的“知识点关联”工作表一致。

关联知识点 1

相关知识点ID： {相关知识点ID}

相关知识点名称： {相关知识点名称}

关系类型： {前置 / 后续 / 对比 / 应用 / 跨课程 / 包含}

关系说明： {说明二者为什么相关，以及这种关系对学习有什么意义。}

关联知识点 2

相关知识点ID： {相关知识点ID}

相关知识点名称： {相关知识点名称}

关系类型： {前置 / 后续 / 对比 / 应用 / 跨课程 / 包含}

关系说明： {说明二者为什么相关，以及这种关系对学习有什么意义。}

2. 知识点正文

本部分不设置固定结构。请按照同学最容易阅读和理解的顺序自由组织内容。可以使用叙述、公式、推导、图示、示例、表格、对比和直观解释，也可以自行增加或删除三级标题。并非每种形式都必须出现。

核心方程与求解思路

时域特性

状态变量与特征方程：

针对 RLC 串联电路建立模型时，通常选取电容电压 \(v_C\) 和电感电流 \(i_L\) 两个独立的物理量作为状态变量列写方程。
经过整理，系统的标准二阶微分方程形式为

\[\frac{d^2v_C}{dt^2} + 2\xi\omega_0\frac{dv_C}{dt} + \omega_0^2v_C = \omega_0^2V_S\]

该系统特征方程求得的根为

\[\lambda = -\xi\omega_0 \pm \sqrt{\xi^2-1}\omega_0\]

阻尼状态判定：

当 \(\xi > 1\) 时，系统处于过阻尼状态，特征根为\(\lambda = -\xi\omega_0 \pm \sqrt{\xi^2-1}\omega_0\)
当 \(\xi = 1\) 时，系统处于临界阻尼状态，此时特征根为重根 \(\lambda = -\omega_0\)
当 \(0 < \xi < 1\) 时，系统处于欠阻尼状态，特征根为一对共轭复根 \(\lambda = -\xi\omega_0 \pm j\sqrt{1-\xi^2}\omega_0\)
对于复杂的二阶电路，其时域全响应可采用“五要素法”根据初始状态和稳态直接写出

频域特性

频域传递函数：

对于经典的RLC串联电路，频域方程可写为

\[I(j\omega L+R+\frac{1}{j\omega C})=V_S\]

令\(\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\)，\(\xi=\frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}\)，可得二阶系统的通用传递函数分母恒定为

\[s^2 + 2\xi\omega_0 s + \omega_0^2\]

改变分子形式可构成不同特性的滤波器。

2.1 RLC滤波器

结构

RLC滤波器通常由RLC串联或并联电路组成，将输出端口接在不同元件上，可以得到不同类型的滤波器

特性&功能应用

二阶RLC滤波器的传递函数如下表所示

传递函数	滤波器类型
\(\frac{\omega_0^2}{s^2 + 2\xi\omega_0 s + \omega_0^2}\)	二阶低通
\(\frac{2\xi\omega_0 s}{s^2 + 2\xi\omega_0 s + \omega_0^2}\)	二阶带通
\(\frac{\omega_0^2+s^2}{s^2 + 2\xi\omega_0 s + \omega_0^2}\)	二阶带阻
\(\frac{s^2}{s^2 + 2\xi\omega_0 s + \omega_0^2}\)	二阶高通

2.1.1 二阶低通滤波器

频域特性

传递函数

\[H(s)=H_0\frac{\omega_0^2}{s^2 + 2\xi\omega_0 s + \omega_0^2}\]

幅频特性和相频特性分别为

\[A(\omega)=H_0\frac{\omega_0^2}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+(2\xi\omega_0\omega)^2}}\]

\[\varphi(\omega)=-\mathrm{arctan}\frac{2\xi\omega_0\omega}{\omega_0^2-\omega^2}\]

为描述相频曲线的变化情况，定义群延时为

\[\tau_g(\omega)=-\frac{d\varphi(\omega)}{d\omega}=\frac{2\xi\omega_0(\omega^2+\omega_0^2)}{\omega^4+2(2\xi^2-1)\omega_0^2\omega^2+\omega_0^4}\]

从图像上来看（之后补充），二阶低通滤波器有如下特点

\(\xi>1\)，过阻尼，幅频特性可按三段折线处理（分解为两个一阶系统的级联）
\(0.707≤\xi≤1\)，幅频特性平坦，可两端折线处理 \(\xi=0.707\)时，达到幅度最大平坦 \(\xi=0.866\)时，达到群延时最大平坦
\(\xi\ll0.707\)，自由振荡频点附近有谐振峰出现谐振峰频点\(\omega_e=\sqrt{1-2\xi^2}\omega_0\) 谐振峰高度\(A(\omega_e)=\frac{1}{2\xi\sqrt{1-\xi^2}}>1\) 阻尼系数\(\xi\ll0.707\)时，\(\omega_e\approx\omega_0\)，\(A(\omega_e)\approx\frac{1}{2\xi}=Q\)
3dB带宽\(\omega_{3dB}=\omega_0\sqrt{-2\xi^2+1+\sqrt{(2\xi^2-1)^2+1}}\)

时域特性

	冲激响应	阶跃响应
无阻尼	\(h(t)=\omega_0\mathrm{sin}(\omega_0t)U(t)\)	\(g(t)=(1-\mathrm{cos}(\omega_0t))U(t)\)
欠阻尼	\(h(t)=\frac{\omega_0}{\sqrt{1-\xi^2}}e^{-\xi\omega_0t}\mathrm{sin}(\sqrt{1-\xi^2}\omega_0t)U(t)\)	\(g(t)=(1-e^{-\xi\omega_0t}(\mathrm{cos}\sqrt{1-\xi^2}\omega_0t+\frac{\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}\mathrm{sin}\sqrt{1-\xi^2}\omega_0t))U(t)\)
过阻尼	\(h(t)=\frac{\omega_0}{2\sqrt{1-\xi^2}}(e^{-\frac{t}{\tau_1}}-e^{-\frac{t}{\tau_2}})U(t)\)	\(g(t)=\left[1-\frac{\tau_1}{\tau_1-\tau_2} e^{-\frac{t}{\tau_1}}+\frac{\tau_2}{\tau_1-\tau_2} e^{-\frac{t}{\tau_2}}\right] U(t)\)

2.1.2 二阶高通滤波器

频域特性

传递函数为

\[H(\omega)=H_0\frac{s^2}{s^2 + 2\xi\omega_0 s + \omega_0^2}\]

幅频特性和相频特性分别为

\[A(\omega)=H_0\frac{\omega^2}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+(2\xi\omega_0\omega)^2}}\]

\[\varphi(\omega)=\pi-\mathrm{arctan}\frac{2\xi\omega_0\omega}{\omega_0^2-\omega^2}\]

谐振峰、幅度最大平坦等频域特性的分析类似于二阶低通

时域特性

（仅分析欠阻尼情况）

冲激响应\(h(t)=\delta(t)+\omega_0e^{-\xi\omega_0t}[-2\xi \mathrm{cos}\sqrt{1-\xi^2}\omega_0t+\frac{2\xi^2-1}{\sqrt{1-\xi^2}}\mathrm{sin}\sqrt{1-\xi^2}\omega_0t]U(t)\)
阶跃响应\(g(t)=e^{-\xi\omega_0t}(\mathrm{cos}\sqrt{1-\xi^2}\omega_0t-\frac{\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}\mathrm{sin}\sqrt{1-\xi^2}\omega_0t)U(t)\)

2.1.3 二阶带通滤波器

（带阻滤波器的分析可参考带通处理）

频域特性

传递函数为

\[H(\omega)=H_0\frac{2\xi\omega_0 s}{s^2 + 2\xi\omega_0 s + \omega_0^2}\]

幅频响应与相频响应为

\[A(f) = H_0\frac{1}{\sqrt{1+Q^2(\frac{\omega}{\omega_0}-\frac{\omega_0}{\omega})^2}}\]

\[\varphi(\omega)=-\mathrm{arctan} Q(\frac{\omega}{\omega_0}-\frac{\omega_0}{\omega})\]

3dB通频带\(Q(\frac{f}{f_0}-\frac{f_0}{f})=±1\)
系统的 3dB 带宽计算公式为 \(BW_{3dB} = f_2 - f_1 = \frac{f_0}{Q}\)。
其上下限截止频率在对数坐标系下满足几何对称关系，即 \(f_1 f_2 = f_0^2\)。

时域特性

（仅分析欠阻尼情况）

冲激响应\(h(t)=2\xi\omega_0e^{-\xi\omega_0t}(\mathrm{cos}\sqrt{1-\xi^2}\omega_0t-\frac{\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}\mathrm{sin}\sqrt{1-\xi^2}\omega_0t)U(t)\)
阶跃响应\(g(t)=\frac{2\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}e^{-\xi\omega_0t}\mathrm{sin}\sqrt{1-\xi^2}\omega_0t\cdot U(t)\)

2.2 阻抗匹配网络 (Impedance Matching Network)

利用 L、C 元件在特定频率下的电抗抵消特性，实现源端与负载间的最大功率传输。

基本思路

利用LC网络在谐振峰频点上实现强制匹配 - 串联谐振是电压谐振 - 并联谐振是电流谐振

设计口诀：并大串小Q相等

\(R_S\)/\(R_L\)中较大的与L/C并联，较小的与之串联
\(Q=\sqrt{\frac{R_p}{R_s}-1}\)

	L	C
串联电抗\电阻	\(Q=\frac{\omega L_s}{R_s}\)	\(Q=\frac{1}{\omega R_s C_s}\)
并联电纳\电导	\(Q=\frac{R_p}{\omega L_p}\)	\(Q=\omega R_pC_p\)

2.3 正弦波振荡 (Sine Wave Oscillation)

结合 RLC 选频网络与放大器正反馈，产生单一频率的稳定正弦波信号（如 LC 振荡器）。

2.3.1 负阻振荡器

原理

在LC谐振腔中添加负阻功能，抵偿正阻耗能，整体看等效为纯LC谐振腔

振荡条件

回路类型	RLC串联谐振	RLC并联谐振
负阻类型	S型负阻	N型负导
起振条件	\(r_n>R_s\)	\(g_n>G_p\)
平衡条件	\(r_n=R_s\)	\(g_n=G_p\)
稳定条件	\(r_n\)随幅度增加单调下降	\(g_n\)随幅度增加单调下降

2.3.2 正弦波振荡器

原理

以LC谐振腔为主体，在特定频点实现正反馈，导致该频率的信号越来越强，直至进入放大器非线性工作区，输出稳定正弦波

振荡条件

	幅度条件	相位条件
起振条件	\(\vert A_0F\vert>1\)	\(\varphi_{A_0F}(\omega_{OSC})=0\)
平衡条件	\(\vert \overline{A}F\vert=1\)	\(\varphi_{\overline{A}F}(\omega_{OSC})=0\)
	\(V_{im}=V_{im\infty}\)	\(\omega=\omega_{OSC}\)
起振条件	\(\frac{\partial\vert \overline{A}F\vert }{\partial V_{im}}\vert_{V_{im}=V_{im\infty}}<0\)	\(\frac{\partial\varphi_{\overline{A}F} }{\partial \omega}\vert_{\omega=\omega_{OSC}}<0\)

典型应用

文氏电桥振荡器
RC移相正弦振荡器
三点式正弦振荡器

2.4 DC-AC/DC-DC转换器

2.4.1 DC-AC 转换器（逆变器）

结构

基本构件：直流源和开关。
直流源提供直流能量，开关的通断实现直流到交流的转换。
电路中通常包含变压器，用以隔离直通交流功能，解决正负直流电源问题。
若希望获得正弦波形态的交流输出，在接入负载前需增加带通或低通滤波器。

特性与分析

逆变器关注点在于能量转换，对转换效率有明确要求。
理想开关不消耗能量，理论转换效率为 \(100\%\)。
开关控制信号来自外部时，逆变器可视作开关型放大器（D类放大器利用二阶带通/低通用于滤取基波；E类增加滤波器的动态元件缓解动态功耗；F类利用传输线或LC谐振腔改造波形，使其更接近理想方波）。

功能应用

完成直流能量到交流能量的转换。

2.4.2 DC-DC 转换器

结构

利用电感、电容的储能作用，配合晶体管（开关）和二极管的通断来完成工作。

特性与分析

高转换效率：传统的串联型线性稳压电路效率低下（消耗在晶体管和负载上的功率之比为 \((V_I - V_O) : V_O\)，压差越大晶体管功耗越大）。而 DC-DC 转换电路利用开关通断实现电感和电容的充放能，由于理想的开关和储能元件均不耗能，其理论转换效率可达 \(100\%\)。
稳态分析方法（磁通守恒）：当电路进入稳态后，根据能量守恒定律，电感充入的磁通量必然等于释放的磁通量。利用这一“磁通守恒”关系建立等式，可以极大化简对电路输出特性的分析推导。

功能应用

将不稳定或缓变的直流电压变换为稳定的直流电压输出（稳压器）。
可产生高于电源电压的大电压（电感维持电流连续）或大电流（电容维持电压连续）。

1、降压型DC-DC转换器（Buck）

结构
- 包含控制开关（晶体管）、续流二极管 \(D\)、滤波电感 \(L\)、电容 \(C\) 和负载 \(R_L\)。
特性与公式推导
- 充磁阶段 (\(CTR=1\), 时间 \(DT_c\))：晶体管导通，二极管截止。电感电流线性增长：
  
  \[i_L(DT_c) = I_{L0} + \frac{V_I - V_O}{L}DT_c = I_{L1}\]
- 放磁阶段 (\(CTR=0\), 时间 \((1-D)T_c\))：晶体管断开，二极管导通续流。电感两端电压为 \(-V_O\)，电流线性下降：
  
  \[i_L(T_c) = I_{L1} - \frac{V_O}{L}(1 - D)T_c = I_{L0}\]
- 输出电压 (磁通守恒)：联立上述两式，开关闭合期获得的磁通量等于断开期失去的磁通量：
  
  \[(V_I - V_O)DT_c = V_O(1 - D)T_c\]
  
  推导得出输出电压公式：
  
  \[V_O = DV_I\]
- 纹波分析：假设输出电压在 \(V_O\) 上下微小波动，充放电导致的电荷变化量推导出纹波电压：
  
  \[\pm \Delta V = \pm \frac{\Delta Q}{C} = \pm \frac{1}{8}\frac{T_c^2}{LC}(1 - D)V_O\]
  
  显然 \(L\)、\(C\) 越大，纹波越小。
功能应用
- 占空比 \(0 < D < 1\)，输出电压始终小于输入电压，实现降压。

2、升压型 DC-DC 转换器（Boost）

结构
- 电感 \(L\) 串联在输入端，控制开关并联到地，二极管 \(D\) 串联在输出支路防止电容反向放电。
特性与公式推导
- 充磁阶段 (\(CTR=1\), 时间 \(DT_c\))：晶体管导通，电感两端电压为 \(V_I\)，电流线性增长：
  
  \[i_L(DT_c) = I_{L0} + \frac{V_I}{L}DT_c = I_{L1}\]
- 放磁阶段 (\(CTR=0\), 时间 \((1-D)T_c\))：晶体管断开，二极管导通，电感两端电压为 \(V_I - V_O\)，电流变化：
  
  \[i_L(T_c) = I_{L1} + \frac{V_I - V_O}{L}(1 - D)T_c = I_{L0}\]
- 输出电压 (磁通守恒)：充磁获得的磁通量等于放磁失去的磁通量：
  
  \[V_I DT_c = (V_O - V_I)(1 - D)T_c\]
  
  推导得出输出电压公式：
  
  \[V_O = \frac{V_I}{1 - D}\]
- 纹波分析：二极管电流波动的剩余电流对电容充放电，输出电压纹波为：
  
  \[\pm \Delta V = \pm \frac{\Delta Q}{C} = \pm \frac{I_{D0}DT_c}{C} = \pm \frac{T_c}{R_LC}DV_O\]
功能应用
- 占空比 \(0 < D < 1\)，故 \(V_O > V_I\)，实现升压。

3、升降压型 DC-DC 转换器（Buck-Boost）

结构
- 晶体管串联在输入端，电感 \(L\) 并联在开关和二极管之间。
特性与公式推导
- 充磁阶段 (\(CTR=1\))：晶体管导通，电感获得磁通增量：
  
  \[\Delta\Phi_1 = V_I DT_c\]
- 放磁阶段 (\(CTR=0\))：晶体管断开，二极管导通，电感两端电压为 \(-V_O\)，电感磁通增量为：
  
  \[\Delta\Phi_2 = -V_O(1 - D)T_c\]
- 输出电压 (磁通守恒)：充电获得磁通等于放磁失去磁通 \(\Delta\Phi_1 = -\Delta\Phi_2\)：
  
  \[V_I DT_c = V_O(1 - D)T_c\]
  
  推导得出输出电压公式：
  
  \[V_O = \frac{D}{1 - D}V_I\]
功能应用
- 当占空比 \(D > 0.5\) 时，\(V_O > V_I\)，相当于升压型转换器。
- 当占空比 \(D < 0.5\) 时，\(V_O < V_I\)，相当于降压型转换器。

附录：主要依据与修订

主要依据

{简要列出教材章节与页码、课件页码、讲义位置或课程组自编说明。不需要建立资料 ID。}

复核确认

[ ] 基本信息与 Excel 一致。
[ ] 关联知识点与 Excel 一致。
[ ] 正文符合当前课程的教学范围。
[ ] 关键概念、公式、推导、图示和示例准确。
[ ] 正文易于同学连续阅读，不是机械拼接的栏目。
[ ] 未加入资料清单、题库、自测、答案或判分规则。

修订记录

版本	日期	修改人	修改内容	复核结论
v0.1	YYYY-MM-DD	{姓名}	初稿	{待复核 / 通过 / 需修改}