柯西收敛准则

0. 基本信息

课程名称

高等微积分

课程ID

{课程ID}

章节/单元

2 极限与连续

小节

2.2 数列收敛与实数完备性

知识点名称

标准名称： 柯西收敛准则 别名： 数列的柯西收敛准则，柯西收敛原理，基本列原理，柯西基本列定理

知识点ID

{项目组统一定义的知识点ID}

知识点类型

方法

知识点层级

核心

难度

4

重要程度

5

建议学习时长

60 分钟

填写与复核

填写人： 孟广轩 复核人： {姓名}
版本与日期： v0.1，2026-07-24

1. 知识背景与应用

1.1 知识点概述

柯西收敛准则表明柯西列必收敛。除了判断数列极限的存在性外，柯西收敛准则还可以判断函数极限的存在性、级数的收敛性等等。可以定义极限的地方几乎都可以用柯西收敛准则判断极限的存在性，学好本知识点也有利于为后面知识打下基础。由于柯西收敛准则对数列本身没有限制，且不需要提前知道极限就能验证数列收敛性，因此它是判断数列收敛最基础、最常用的定理之一。

1.2 与其他课程或知识点的联系

关联知识点 1

相关知识点ID： {相关知识点ID}

相关知识点名称： 有界闭区间套定理

关系类型： 后续、对比

关系说明： 二者相互等价

关联知识点 2

相关知识点ID： {相关知识点ID}

相关知识点名称： 单调有界收敛定理

关系类型： 对比

关系说明： 相互等价，都反映实数完备性

关联知识点 3

相关知识点ID： {相关知识点ID}

相关知识点名称： 柯西收敛准则

关系类型： 对比

关系说明： 相互等价，都反映实数完备性

2. 知识点正文

柯西收敛准则

柯西列

设 \(\{x_n\}\) 是实数列。如果对任意 \(\varepsilon>0\)，都存在正整数 \(N\)，使得当 \(m>N\) 且 \(n>N\) 时，恒有

\[ \lvert x_n-x_m\rvert<\varepsilon, \]

那么称 \(\{x_n\}\) 为柯西列，也称为基本列。

柯西条件描述的是数列后面的任意两项都可以充分接近。它只涉及数列本身，不需要预先知道极限是什么。

定理

实数列 \(\{x_n\}\) 收敛的充分必要条件是 \(\{x_n\}\) 为柯西列，即

\[ \forall\,\varepsilon>0, \qquad \exists\,N\in\mathbb{N}^{+}, \qquad \forall\,m,n>N, \qquad \lvert x_n-x_m\rvert<\varepsilon. \]

必要性

设数列 \(\{x_n\}\) 收敛于 \(a\)。任取 \(\varepsilon>0\)，根据数列极限的定义，存在正整数 \(N\)，使得当 \(n>N\) 时，

\[ \lvert x_n-a\rvert<\frac{\varepsilon}{2}. \]

因此，当 \(m>N\) 且 \(n>N\) 时，由三角不等式可得

\[ \begin{aligned} \lvert x_n-x_m\rvert &\leq\lvert x_n-a\rvert+\lvert x_m-a\rvert \\ &<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon. \end{aligned} \]

所以每个收敛实数列都是柯西列。

充分性证明一：利用有界闭区间套定理

设 \(\{x_n\}\) 是柯西列。先证明 \(\{x_n\}\) 有界。在柯西条件中取 \(\varepsilon=1\)，则存在正整数 \(N_0\)，使得当 \(m>N_0\) 且 \(n>N_0\) 时，

\[ \lvert x_n-x_m\rvert<1. \]

固定 \(m=N_0+1\)。当 \(n>N_0\) 时，

\[ \lvert x_n\rvert \leq\lvert x_n-x_{N_0+1}\rvert +\lvert x_{N_0+1}\rvert <1+\lvert x_{N_0+1}\rvert. \]

数列前 \(N_0\) 项只有有限项，因此也有界。由此可知，\(\{x_n\}\) 有界。

令

\[ \alpha\coloneqq\inf\{x_n\mid n\in\mathbb{N}^{+}\}, \qquad \beta\coloneqq\sup\{x_n\mid n\in\mathbb{N}^{+}\}, \]

并取

\[ I_1\coloneqq[\alpha,\beta]. \]

如果 \(\alpha=\beta\)，那么数列为常数列，结论显然成立。下面设 \(\alpha<\beta\)。

将 \(I_1\) 三等分。数列不可能在最左边和最右边的两个三等分区间中都各有无穷多项。否则，可以在这两个区间中分别找到下标任意大的两项，而这两项之间的距离至少为

\[ \frac{\beta-\alpha}{3}>0, \]

这与柯西条件矛盾。因此，至少有一个外侧的三等分区间只包含数列的有限多项。舍去这个区间，将其余两个相邻的三等分区间组成闭区间 \(I_2\)。于是，\(I_2\subseteq I_1\)，\(I_2\) 包含数列除有限项以外的所有项，并且其长度是 \(I_1\) 长度的 \(\frac{2}{3}\)。

重复上述过程。若已经得到闭区间 \(I_k\)，且 \(I_k\) 包含数列除有限项以外的所有项，就将 \(I_k\) 三等分。由柯西条件，两个外侧的三等分区间不可能都包含数列的无穷多项。舍去一个只包含有限多项的外侧区间，将其余两个相邻区间组成 \(I_{k+1}\)。由此得到闭区间套

\[ I_1\supseteq I_2\supseteq\cdots\supseteq I_k\supseteq\cdots. \]

将 \(I_k\) 记为 \([\alpha_k,\beta_k]\)，则

\[ \beta_k-\alpha_k =\left(\frac{2}{3}\right)^{k-1}(\beta-\alpha) \to0, \qquad k\to\infty. \]

根据有界闭区间套定理，存在唯一的实数 \(a\)，使得

\[ \bigcap_{k=1}^{\infty}I_k=\{a\}. \]

下面证明 \(x_n\to a\)。任取 \(\varepsilon>0\)，可以选择正整数 \(k\)，使得

\[ \beta_k-\alpha_k<\varepsilon. \]

由于 \(I_k\) 包含数列除有限项以外的所有项，所以存在正整数 \(N\)，使得当 \(n>N\) 时，\(x_n\in I_k\)。又因为 \(a\in I_k\)，所以当 \(n>N\) 时，

\[ \lvert x_n-a\rvert \leq\beta_k-\alpha_k <\varepsilon. \]

因此，\(x_n\to a\)，即实数范围内的柯西列必收敛。

充分性证明二：利用聚点定理

仍设 \(\{x_n\}\) 是柯西列。由充分性证明一的第一步可知，柯西列必有界。根据聚点定理，\(\{x_n\}\) 存在一个收敛子列 \(\{x_{n_k}\}\)。设

\[ \lim_{k\to\infty}x_{n_k}=a. \]

任取 \(\varepsilon>0\)。由于 \(\{x_n\}\) 是柯西列，存在正整数 \(N_1\)，使得当 \(m>N_1\) 且 \(n>N_1\) 时，

\[ \lvert x_n-x_m\rvert<\frac{\varepsilon}{2}. \]

由于 \(x_{n_k}\to a\)，存在正整数 \(K\)，使得当 \(k>K\) 时，

\[ \lvert x_{n_k}-a\rvert<\frac{\varepsilon}{2}. \]

取一个充分大的 \(k\)，使得 \(k>K\) 且 \(n_k>N_1\)。固定这个 \(k\)，则对任意 \(n>N_1\)，都有

\[ \begin{aligned} \lvert x_n-a\rvert &\leq\lvert x_n-x_{n_k}\rvert +\lvert x_{n_k}-a\rvert \\ &<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon. \end{aligned} \]

因此 \(x_n\to a\)。这说明柯西列的任意一个收敛子列的极限，也是整个数列的极限。

拓展：完备的度量空间

本部分不是微积分课程的考查范围，了解基本概念即可。

度量空间

设 \(X\) 是一个非空集合。如果函数

\[ d\colon X\times X\to[0,\infty) \]

对任意 \(x,y,z\in X\) 都满足：

\(d(x,y)\geq0\)，且 \(d(x,y)=0\) 当且仅当 \(x=y\)；
\(d(x,y)=d(y,x)\)；
\(d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\)。

那么称 \(d\) 是 \(X\) 上的一个度量，称 \((X,d)\) 为度量空间。度量 \(d(x,y)\) 可以理解为点 \(x\) 与点 \(y\) 之间的距离。

实数集 \(\mathbb{R}\) 上的通常距离为

\[ d(x,y)\coloneqq\lvert x-y\rvert. \]

在度量空间 \((X,d)\) 中，如果对任意 \(\varepsilon>0\)，都存在正整数 \(N\)，使得当 \(m>N\) 且 \(n>N\) 时，

\[ d(x_n,x_m)<\varepsilon, \]

那么称 \(\{x_n\}\) 为该度量空间中的柯西列。

完备

如果度量空间 \((X,d)\) 中的每个柯西列都收敛于 \(X\) 中的某个点，那么称 \((X,d)\) 是完备的度量空间。

柯西收敛准则表明，实数空间 \(\mathbb{R}\) 在通常距离下是完备的。与之相对，有理数空间 \(\mathbb{Q}\) 在通常距离下并不完备。例如，可以取一列趋近于 \(\sqrt{2}\) 的有理数。它在 \(\mathbb{Q}\) 中是柯西列，但由于 \(\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}\)，它在 \(\mathbb{Q}\) 中没有极限。

在任意度量空间中，收敛数列一定是柯西列；反过来，柯西列必收敛这一结论恰好刻画了该度量空间的完备性。

附录：主要依据与修订

主要依据

{简要列出教材章节与页码、课件页码、讲义位置或课程组自编说明。不需要建立资料 ID。}

复核确认

[ ] 基本信息与 Excel 一致。
[ ] 关联知识点与 Excel 一致。
[ ] 正文符合当前课程的教学范围。
[ ] 关键概念、公式、推导、图示和示例准确。
[ ] 正文易于同学连续阅读，不是机械拼接的栏目。
[ ] 未加入资料清单、题库、自测、答案或判分规则。

修订记录

版本	日期	修改人	修改内容	复核结论
v0.1	YYYY-MM-DD	{姓名}	初稿	{待复核 / 通过 / 需修改}