单调有界收敛定理

0. 基本信息

课程名称

高等微积分

课程ID

{课程ID}

章节/单元

2 极限与连续

小节

2.2 数列收敛与实数完备性

知识点名称

标准名称：单调有界收敛定理 别名：单调有界定理，单调有界数列极限存在定理，单调有界数列必有极限定理

知识点ID

{项目组统一定义的知识点ID}

知识点类型

方法

知识点层级

核心

难度

3

重要程度

5

建议学习时长

30 分钟

填写与复核

填写人： 孟广轩 复核人： {姓名}
版本与日期： v0.1，2026-07-24

1. 知识背景与应用

1.1 知识点概述

单调有界收敛定理说的是单调数列若有界必收敛。定理内容较为直观，证明也可由确界原理立得。但它在考试中十分重要，也是实数完备性的体现。

本节介绍的三个定理与第 1.3 节介绍的两个定理都是实数完备性的等价刻画。学习时可以将这些定理相互对照，理解它们如何分别从确界、单调收敛、聚点和柯西列等不同角度反映实数轴“没有空隙”这一基本性质。

1.2 与其他课程或知识点的联系

关联知识点 1

相关知识点ID： {相关知识点ID}

相关知识点名称： 确界原理

关系类型： 后续、对比

关系说明： 二者相互等价

关联知识点 2

相关知识点ID： {相关知识点ID}

相关知识点名称： 重要极限e

关系类型： 前置

关系说明： e的定义需要单调有界收敛定理

关联知识点 3

相关知识点ID： {相关知识点ID}

相关知识点名称： 聚点定理

关系类型： 对比

关系说明： 相互等价，都反映实数完备性

关联知识点 4

相关知识点ID： {相关知识点ID}

相关知识点名称： 柯西收敛准则

关系类型： 对比

关系说明： 相互等价，都反映实数完备性

2. 知识点正文

设 \(\{x_n\}\) 为实数数列。

1. 如果 \(\{x_n\}\) 单调递增且有上界，那么 \(\{x_n\}\) 收敛，并且

$$ \lim_{n\to\infty}x_n =\sup{x_n\mid n\in\mathbb{N}^{+}}. $$

1. 如果 \(\{x_n\}\) 单调递减且有下界，那么 \(\{x_n\}\) 收敛，并且

$$ \lim_{n\to\infty}x_n =\inf{x_n\mid n\in\mathbb{N}^{+}}. $$

用确界原理证明

先证明单调递增的情形。令

这里的\(\mathbb{N}\)表示自然数集。

因为数列 \(\{x_n\}\) 有上界，所以非空数集 \(A\) 有上界。根据确界原理，\(A\) 存在上确界。记

下面证明 \(x_n\to a\)。任取 \(\varepsilon>0\)。由于 \(a\) 是 \(A\) 的上确界，\(a-\varepsilon<a\) 不可能是 \(A\) 的上界，因此存在正整数 \(N\)，使得

另一方面，\(a\) 是 \(A\) 的上界，所以对任意正整数 \(n\)，都有 \(x_n\leq a\)。又因为数列 \(\{x_n\}\) 单调递增，所以当 \(n>N\) 时，

于是，当 \(n>N\) 时，

从而

由数列极限的定义可知

单调递减的情形完全类似，同学们可以尝试证明。

附录：主要依据与修订

主要依据

{简要列出教材章节与页码、课件页码、讲义位置或课程组自编说明。不需要建立资料 ID。}

复核确认

• [ ] 基本信息与 Excel 一致。
• [ ] 关联知识点与 Excel 一致。
• [ ] 正文符合当前课程的教学范围。
• [ ] 关键概念、公式、推导、图示和示例准确。
• [ ] 正文易于同学连续阅读，不是机械拼接的栏目。
• [ ] 未加入资料清单、题库、自测、答案或判分规则。

修订记录