实数的引入与定义

0. 基本信息

课程名称

高等微积分

课程ID

{课程ID}

章节/单元

1 实数与实数的运算

小节

1.1 实数的引入与定义

知识点名称

实数的引入与定义

知识点ID

{项目组统一定义的知识点ID}

知识点类型

概念

知识点层级

拓展

难度

5

重要程度

1

建议学习时长

30分钟

填写与复核

填写人： 孟广轩 复核人： {姓名}
版本与日期： v1.1，2026-07-23

1. 知识背景与应用

1.1 知识点概述

有理数可以通过自然数与四则运算清晰地定义，然而它在数轴上的分布是有“洞”的。为填补有理数在数轴上的“洞”，我们通过戴德金分割的方法定义实数。学习本知识点时应注重理解引入实数的必要性，并知道实数是可以被严格构造的。

1.2 与其他课程或知识点的联系

按实际数量复制或删除“关联知识点”小节。此处内容应与 Excel 的“知识点关联”工作表一致。

关联知识点 1

相关知识点ID： {相关知识点ID}

相关知识点名称： 实数域

关系类型： 前置

关系说明： 实数的四则运算和序需要戴德金分割定义

关联知识点 2

相关知识点ID： {相关知识点ID}

相关知识点名称： 确界原理

关系类型： 前置

关系说明： 确界原理需要戴德金分割推出。戴德金分割的构造思路就是把实数看作特定有理数集的上确界，并用这个有理数集本身表示实数。

2. 知识点正文

有理数的缺陷

有理数可以写成两个整数的比值，定义简洁，然而它的缺陷是在数轴上的分布有“洞”。这使得\(x^2-2=0\)这样简单的方程在有理数集是没有解的。因此我们希望构造一种数集，它能和数轴上的点一一对应，这也就是实数。

戴德金分割

戴德金分割是从有理数构造实数的一种方式，它通过填充有理数的“洞”填满了整个数轴。具体的构造方式如下：

称A是一个实数，如果\(\\\) 1.A是有理数集合的一个非空子集；\(\\\) 2.A在\(\mathbb{Q}\)中有上界；\(\\\) 3.\(\forall x\in A,\forall y\in \mathbb{Q},y<x \Rightarrow y\in A\);\(\\\) 4.若A在\(\mathbb{Q}\)中有上确界b，则\(b\in A\)。\(\\\) 记\(\mathbb{R}\)为所有实数组成的集合，称为实数集。戴德金分割将实数映射为有理数的集合。

用这种方式，我们可以定义 \(\sqrt{r}\coloneqq \{x^2<r \text{或} x<0\mid x,r\in\mathbb{Q}\}\)。容易验证\(\sqrt{r}\)是一个实数。

戴德金分割很抽象，不是《高等微积分》课程的重点，仅作为拓展，目的是用严格的构造使实数的完备性建立在坚实的基础上。理解实数的完备性比理解戴德金分割更加重要。

附录：主要依据与修订

主要依据

{简要列出教材章节与页码、课件页码、讲义位置或课程组自编说明。不需要建立资料 ID。}

复核确认

• [ ] 基本信息与 Excel 一致。
• [ ] 关联知识点与 Excel 一致。
• [ ] 正文符合当前课程的教学范围。
• [ ] 关键概念、公式、推导、图示和示例准确。
• [ ] 正文易于同学连续阅读，不是机械拼接的栏目。
• [ ] 未加入资料清单、题库、自测、答案或判分规则。

修订记录