重要极限e

0. 基本信息

课程名称

高等微积分

课程ID

{课程ID}

章节/单元

2 极限与连续

小节

2.2 数列收敛与实数完备性

知识点名称

重要极限e

知识点ID

{项目组统一定义的知识点ID}

知识点类型

概念

知识点层级

核心

难度

3

重要程度

4

建议学习时长

50 分钟

填写与复核

填写人： 孟广轩 复核人： {姓名}
版本与日期： v0.1，2026-07-24

1. 知识背景与应用

1.1 知识点概述

本节中我们用数列极限严格定义自然对数的底数\(e\)。同学们在高中学习中已经意识到\(e^x\)的神奇之处，例如它的导函数为它本身。这一切都要追溯到\(e\)的严格定义。证明此定义的合法性需要单调有界收敛定理，这也是我们把它放在此处的原因。

1.2 与其他课程或知识点的联系

关联知识点 1

相关知识点ID： {相关知识点ID}

相关知识点名称： 单调有界收敛定理

关系类型： 应用

关系说明： 证明此定义的合法性需要单调有界收敛定理

关联知识点

相关知识点ID： {相关知识点ID}

相关知识点名称： 一些重要极限的计算

关系类型： 前置

关系说明： 这些重要极限，如 \(\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1\) 是常考知识点，许多计算都依赖于\(e\)的定义

2. 知识点正文

\(e\) 的定义

考虑数列

\[ a_n\coloneqq\left(1+\frac{1}{n}\right)^n, \qquad b_n\coloneqq\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}. \]

下面先用单调有界收敛定理证明这两个数列收敛。

证明 \(\{a_n\}\) 单调递增

对 \(n+1\) 个正数

\[ 1+\frac{1}{n}, 1+\frac{1}{n}, \ldots, 1+\frac{1}{n}, 1 \]

应用算术—几何平均不等式，其中前 \(n\) 个数均为 \(1+\frac{1}{n}\)。因为这些数不全相等，所以

\[ \left[ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \right]^{\frac{1}{n+1}} <\frac{n\left(1+\frac{1}{n}\right)+1}{n+1} =1+\frac{1}{n+1}. \]

两边取 \(n+1\) 次方，得到

\[ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n <\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}, \]

即

\[ a_n<a_{n+1}. \]

因此，数列 \(\{a_n\}\) 单调递增。

证明 \(\{b_n\}\) 单调递减

令

\[ d_n\coloneqq \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}. \]

对 \(n+2\) 个正数应用算术—几何平均不等式，其中前 \(n+1\) 个数均为 \(1-\frac{1}{n+1}\)，最后一个数为 \(1\)，可得

\[ \left[ \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \right]^{\frac{1}{n+2}} <\frac{(n+1)\left(1-\frac{1}{n+1}\right)+1}{n+2} =1-\frac{1}{n+2}. \]

两边取 \(n+2\) 次方，得到

\[ d_n<d_{n+1}. \]

另一方面，

\[ b_n =\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} =\frac{1}{\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}} =\frac{1}{d_n}. \]

因为 \(\{d_n\}\) 单调递增且各项为正，所以 \(\{b_n\}\) 单调递减。

两个数列收敛于同一极限

对任意正整数 \(n\)，都有

\[ a_n<b_n. \]

由于 \(\{b_n\}\) 单调递减，所以 \(b_n\leq b_1=4\)，进而 \(a_n<4\)。因此，\(\{a_n\}\) 单调递增且有上界。根据单调有界收敛定理，\(\{a_n\}\) 收敛。

又因为 \(b_n>a_n\geq a_1=2\)，所以 \(\{b_n\}\) 单调递减且有下界。根据单调有界收敛定理，\(\{b_n\}\) 也收敛。

注意到

\[ b_n=a_n\left(1+\frac{1}{n}\right), \]

而

\[ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=1. \]

由数列极限的乘法法则，\(\{a_n\}\) 与 \(\{b_n\}\) 的极限相同。将这个共同极限定义为自然对数的底数 \(e\)，即

\[ e\coloneqq \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}. \]

\(e\) 的另一种定义

考虑数列

\[ s_n\coloneqq\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} =1+1+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}. \]

因为

\[ s_{n+1}-s_n=\frac{1}{(n+1)!}>0, \]

所以 \(\{s_n\}\) 单调递增。对 \(k\geq2\)，有

\[ k!=1\cdot2\cdot3\cdots k\geq2^{k-1}. \]

因此

\[ s_n \leq2+\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{2^{k-1}} <3. \]

于是，\(\{s_n\}\) 单调递增且有上界。根据单调有界收敛定理，\(\{s_n\}\) 收敛。记

\[ s\coloneqq\lim_{n\to\infty}s_n. \]

下面证明 \(s=e\)。由二项式定理，

\[ \begin{aligned} a_n &=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \\ &=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{1}{n^k} \\ &=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} \prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right). \end{aligned} \]

其中，当 \(k=0\) 时约定空乘积等于 \(1\)。因为乘积中的每个因子均不大于 \(1\)，所以

\[ a_n\leq\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}=s_n. \]

令 \(n\to\infty\)，得到

\[ e\leq s. \]

另一方面，固定正整数 \(m\)。当 \(n\geq m\) 时，舍去二项式展开式中其余的非负项，得到

\[ a_n\geq \sum_{k=0}^{m}\frac{1}{k!} \prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right). \]

令 \(n\to\infty\)。因为右侧是有限项之和，并且对每个固定的 \(k\) 都有

\[ \lim_{n\to\infty} \prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right)=1, \]

所以

\[ e\geq\sum_{k=0}^{m}\frac{1}{k!}=s_m. \]

再令 \(m\to\infty\)，得到

\[ e\geq s. \]

结合 \(e\leq s\) 与 \(e\geq s\)，可知 \(e=s\)。因此，\(e\) 也可以等价地定义为

\[ e\coloneqq\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}. \]

附录：主要依据与修订

主要依据

{简要列出教材章节与页码、课件页码、讲义位置或课程组自编说明。不需要建立资料 ID。}

复核确认

[ ] 基本信息与 Excel 一致。
[ ] 关联知识点与 Excel 一致。
[ ] 正文符合当前课程的教学范围。
[ ] 关键概念、公式、推导、图示和示例准确。
[ ] 正文易于同学连续阅读，不是机械拼接的栏目。
[ ] 未加入资料清单、题库、自测、答案或判分规则。

修订记录

版本	日期	修改人	修改内容	复核结论
v0.1	YYYY-MM-DD	{姓名}	初稿	{待复核 / 通过 / 需修改}