有界闭区间套定理

0. 基本信息

课程名称

高等微积分

课程ID

{课程ID}

章节/单元

1 实数与实数的运算

小节

1.3 实数的完备性初步

知识点名称

标准名称：有界闭区间套定理 别名：闭区间套定理、区间套原理、康托尔区间套定理

知识点ID

{项目组统一定义的知识点ID}

知识点类型

概念

知识点层级

核心

难度

3

重要程度

4

建议学习时长

30分钟

填写与复核

填写人： 孟广轩 复核人： {姓名}
版本与日期： v0.1，2026-07-23

1. 知识背景与应用

1.1 知识点概述

有界闭区间套定理表明嵌套的有界闭区间的交集一定非空。它提供了一种证明存在性的常用方法：通过收紧闭区间长度找到一个满足条件的值，其中有界闭区间套定理保证即使区间长度趋于0，也一定存在某个值落在区间中。收紧区间长度的方法也是二分法等数值算法的数学基础。

1.2 与其他课程或知识点的联系

关联知识点 1

相关知识点ID： {相关知识点ID}

相关知识点名称： 确界原理

关系类型： 后续、对比

关系说明： 有界闭区间套定理的证明需要确界原理，而且两者是等价的，都反映实数的完备性。

关联知识点 2

相关知识点ID： {相关知识点ID}

相关知识点名称： 数列收敛的判断与实数完备性

关系类型： 前置、对比

关系说明： 有界闭区间套定理、确界原理与数列收敛判断的三条定理都刻画了实数的完备性。

关联知识点 3

相关知识点ID： {相关知识点ID}

相关知识点名称： 介值定理

关系类型： 应用

关系说明： 知识点概述中提到的方法是证明介值定理的核心，有界闭区间套定理在其中发挥了重要作用。

2. 知识点正文

区间

设 \(I\subseteq\mathbb{R}\)。如果对任意 \(x,y\in I\)，当 \(x<y\) 时，每个满足 \(x<z<y\) 的实数 \(z\) 都属于 \(I\)，那么称 \(I\) 是一个区间。也就是说，区间包含其中任意两点之间的所有实数。

区间可以有两个有限端点，也可以只有一个有限端点或没有有限端点。

开区间、闭区间

设 \(a,b\in\mathbb{R}\)，且 \(a<b\)。定义开区间

定义闭区间

开区间 \((a,b)\) 不包含端点 \(a,b\)，闭区间 \([a,b]\) 包含两个端点。相应地，定义半开半闭区间

数 \(a\) 和 \(b\) 称为区间的端点，\(b-a\) 称为区间的长度。当 \(a=b\) 时，约定

此时闭区间退化为单点集，长度为 \(0\)。

区间套

设

是一列非空有界闭区间，其中约定 \(\mathbb{N}\) 表示正整数集。如果对任意 \(n\in\mathbb{N}\) 都有

那么称闭区间列 \(\{I_n\}\) 构成一个有界闭区间套，也称一列嵌套闭区间。

区间包含关系等价于端点满足

因此，左端点数列 \(\{a_n\}\) 单调递增，右端点数列 \(\{b_n\}\) 单调递减，并且对任意正整数 \(m,n\) 都有

最后一个不等式可分两种情况验证：当 \(n\le m\) 时，\(a_n\le a_m\le b_m\)；当 \(m<n\) 时，\(a_n\le b_n\le b_m\)。

有界闭区间套定理

设 \(I_n=[a_n,b_n]\) 构成一个有界闭区间套，则所有区间至少有一个公共点，即

证明： 考虑左端点组成的集合

集合 \(A\) 非空。由于对任意正整数 \(n\) 都有 \(a_n\le b_1\)，所以 \(A\) 有上界。由确界原理，\(A\) 存在上确界。令

根据上确界的定义，对任意正整数 \(n\) 都有

另一方面，对任意固定的正整数 \(n\)，前面已经证明 \(a_m\le b_n\) 对所有正整数 \(m\) 都成立。因此 \(b_n\) 是集合 \(A\) 的一个上界。由于 \(\xi\) 是 \(A\) 的最小上界，有

于是对任意正整数 \(n\)，都有

因此 \(\xi\in I_n\) 对所有正整数 \(n\) 都成立，从而

这就证明了所有区间至少有一个公共点。

引理：如果区间的长度任意小，则公共点唯一

证明：假设存在实数 \(a,b\in\bigcap_{n=1}^{\infty}I_n\)。且对任意的

附录：主要依据与修订

主要依据

{简要列出教材章节与页码、课件页码、讲义位置或课程组自编说明。不需要建立资料 ID。}

复核确认

• [ ] 基本信息与 Excel 一致。
• [ ] 关联知识点与 Excel 一致。
• [ ] 正文符合当前课程的教学范围。
• [ ] 关键概念、公式、推导、图示和示例准确。
• [ ] 正文易于同学连续阅读，不是机械拼接的栏目。
• [ ] 未加入资料清单、题库、自测、答案或判分规则。

修订记录