数列收敛、数列极限的概念

0. 基本信息

课程名称

高等微积分

课程ID

{课程ID}

章节/单元

2 极限与连续

小节

2.1 数列极限

知识点名称

数列极限的运算

知识点ID

{项目组统一定义的知识点ID}

知识点类型

方法

知识点层级

核心

难度

2

重要程度

5

建议学习时长

20分钟

填写与复核

填写人： 孟广轩 复核人： {姓名}
版本与日期： v0.1，2026-07-23

1. 知识背景与应用

1.1 知识点概述

数列极限的运算性质相当良好。它保持序、加法、减法、乘法、分母不为0或无穷时的除法。本节较容易理解，应用也几乎无处不在。关联知识点仅选择了关系较为密切的。

1.2 与其他课程或知识点的联系

关联知识点 1

相关知识点ID： {相关知识点ID}

相关知识点名称： 数列收敛、数列极限的概念

关系类型： 后置

关系说明： 数列极限的四则运算法则建立在数列收敛与极限定义的基础上，其证明需要使用 \(\varepsilon\)-\(N\) 语言。

关联知识点 2

相关知识点ID： {相关知识点ID}

相关知识点名称： 数列收敛的判断

关系类型： 应用

关系说明： 在确认相关数列收敛后，可以利用极限的四则运算法则把复杂数列拆分为若干简单数列，从而计算其极限；运算结果也常用于辅助判断数列的收敛性。

关联知识点 3

相关知识点ID： {相关知识点ID}

相关知识点名称： 函数极限的运算

关系类型： 前置

关系说明： 函数极限具有与数列极限相似的和、差、积、商运算法则。先掌握数列极限的运算，有助于理解和使用函数极限的相应法则。

关联知识点 4

相关知识点ID： {相关知识点ID}

相关知识点名称： 函数的连续性与连续函数的极限

关系类型： 前置

关系说明： 连续函数的代入求极限以及连续函数的和、差、积、商仍保持连续，都以极限的运算性质为基础。

2. 知识点正文

设数列 \(\{x_n\}\)、\(\{y_n\}\) 收敛，并且

\[ \lim_{n\to\infty}x_n=a, \qquad \lim_{n\to\infty}y_n=b. \]

下面讨论数列的大小关系和四则运算在取极限后是否仍然成立。

极限的保序性

如果从某一项开始恒有

\[ x_n\leq y_n, \]

那么

\[ a\leq b. \]

这里“从某一项开始”是指存在正整数 \(N_0\)，使得对所有 \(n>N_0\)，不等式 \(x_n\leq y_n\) 都成立。前面有限项的大小关系不影响结论。

证明： 假设结论不成立，即 \(a>b\)。取

\[ \varepsilon=\frac{a-b}{3}>0. \]

由 \(x_n\to a\)，存在正整数 \(N_1\)，使得当 \(n>N_1\) 时，

\[ x_n>a-\varepsilon. \]

由 \(y_n\to b\)，存在正整数 \(N_2\)，使得当 \(n>N_2\) 时，

\[ y_n<b+\varepsilon. \]

注意到

\[ a-\varepsilon>b+\varepsilon. \]

因此，当 \(n>\max\{N_0,N_1,N_2\}\) 时，有 \(x_n>y_n\)，这与 \(x_n\leq y_n\) 矛盾。所以必有 \(a\leq b\)。

保序定理还有一个常用的逆向表述：如果 \(a<b\)，那么从某一项开始恒有 \(x_n<y_n\)。特别地，如果 \(a>0\)，那么数列 \(\{x_n\}\) 从某一项开始恒为正；如果 \(a<0\)，那么它从某一项开始恒为负。

需要注意，逐项的严格不等式在取极限后可能变为等号。例如

\[ \frac{1}{n}>0, \]

但

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0. \]

所以，由从某一项开始的 \(x_n<y_n\)，一般只能得到 \(a\leq b\)，不能直接得到 \(a<b\)。

极限保持加、减、乘运算

加法与减法

数列极限保持加法和减法，即

\[ \lim_{n\to\infty}(x_n+y_n)=a+b, \]

\[ \lim_{n\to\infty}(x_n-y_n)=a-b. \]

先证明加法。任取 \(\varepsilon>0\)。由 \(x_n\to a\)，存在正整数 \(N_1\)，使得当 \(n>N_1\) 时，

\[ \lvert x_n-a\rvert<\frac{\varepsilon}{2}. \]

同理，存在正整数 \(N_2\)，使得当 \(n>N_2\) 时，

\[ \lvert y_n-b\rvert<\frac{\varepsilon}{2}. \]

当 \(n>\max\{N_1,N_2\}\) 时，由三角不等式，

\[ \begin{aligned} \lvert (x_n+y_n)-(a+b)\rvert &\leq \lvert x_n-a\rvert+\lvert y_n-b\rvert \\ &<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon. \end{aligned} \]

因此 \(x_n+y_n\to a+b\)。减法可以看作加上 \(-y_n\)，证明完全类似。

乘法

数列极限保持乘法，即

\[ \lim_{n\to\infty}(x_ny_n)=ab. \]

证明： 易证收敛数列必有界，所以存在常数 \(M>0\) 和正整数 \(N_0\)，使得当 \(n>N_0\) 时，\(\lvert x_n\rvert\leq M\)。任取 \(\varepsilon>0\)，由 \(x_n\to a\) 和 \(y_n\to b\)，可以分别取正整数 \(N_1,N_2\)，使得

\[ n>N_1\Longrightarrow \lvert x_n-a\rvert<\frac{\varepsilon}{2(\lvert b\rvert+1)}, \]

\[ n>N_2\Longrightarrow \lvert y_n-b\rvert<\frac{\varepsilon}{2M}. \]

当 \(n>\max\{N_0,N_1,N_2\}\) 时，

\[ \begin{aligned} \lvert x_ny_n-ab\rvert &=\lvert x_n(y_n-b)+b(x_n-a)\rvert \\ &\leq \lvert x_n\rvert\,\lvert y_n-b\rvert+\lvert b\rvert\,\lvert x_n-a\rvert \\ &<\frac{\varepsilon}{2} +\frac{\lvert b\rvert}{\lvert b\rvert+1}\cdot\frac{\varepsilon}{2} <\varepsilon. \end{aligned} \]

因此 \(x_ny_n\to ab\)。

反复使用加法与乘法法则可知，极限保持有限次加、减、乘运算。例如，若 \(x_n\to a\)，则对任意多项式

\[ P(x)=c_mx^m+\cdots+c_1x+c_0, \]

都有

\[ \lim_{n\to\infty}P(x_n)=P(a). \]

极限保持分母不为 0 的除法运算

如果 \(b\neq0\)，那么从某一项开始 \(y_n\neq0\)，并且

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n} =\frac{a}{b}. \]

条件 \(b\neq0\) 不仅保证极限值 \(\frac{a}{b}\) 有意义，还能保证分母数列从某一项开始远离 \(0\)。事实上，由 \(y_n\to b\)，取 \(\varepsilon=\frac{\lvert b\rvert}{2}\)，则存在正整数 \(N_0\)，使得当 \(n>N_0\) 时，

\[ \lvert y_n-b\rvert<\frac{\lvert b\rvert}{2}. \]

由反三角不等式可得

\[ \lvert y_n\rvert \geq \lvert b\rvert-\lvert y_n-b\rvert >\frac{\lvert b\rvert}{2}>0. \]

因此，从某一项开始，\(\frac{1}{y_n}\) 有定义。此时

\[ \left\lvert\frac{1}{y_n}-\frac{1}{b}\right\rvert =\frac{\lvert y_n-b\rvert}{\lvert y_n\rvert\,\lvert b\rvert} <\frac{2}{\lvert b\rvert^2}\lvert y_n-b\rvert. \]

由于 \(\lvert y_n-b\rvert\to0\)，所以

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{y_n}=\frac{1}{b}. \]

再利用乘法法则，得到

\[ \lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n} =\lim_{n\to\infty}\left(x_n\cdot\frac{1}{y_n}\right) =a\cdot\frac{1}{b} =\frac{a}{b}. \]

如果分母数列的极限为 \(0\)，就不能直接使用除法法则。此时商的极限可能是有限数、可能不存在，也可能呈现无界增长。分母极限为 \(0\) 的情形会在后面进一步讨论。

附录：主要依据与修订

主要依据

{简要列出教材章节与页码、课件页码、讲义位置或课程组自编说明。不需要建立资料 ID。}

复核确认

[ ] 基本信息与 Excel 一致。
[ ] 关联知识点与 Excel 一致。
[ ] 正文符合当前课程的教学范围。
[ ] 关键概念、公式、推导、图示和示例准确。
[ ] 正文易于同学连续阅读，不是机械拼接的栏目。
[ ] 未加入资料清单、题库、自测、答案或判分规则。

修订记录

版本	日期	修改人	修改内容	复核结论
v0.1	YYYY-MM-DD	{姓名}	初稿	{待复核 / 通过 / 需修改}