确界原理

0. 基本信息

课程名称

高等微积分

课程ID

{课程ID}

章节/单元

1 实数与实数的运算

小节

1.3 实数的完备性初步

知识点名称

标准名称：确界原理 别名：确界存在定理、上下确界存在原理、实数确界公理

知识点ID

{项目组统一定义的知识点ID}

知识点类型

概念

知识点层级

核心

难度

5

重要程度

4

建议学习时长

60分钟

填写与复核

填写人： 孟广轩 复核人： {姓名}
版本与日期： v0.1，2026-07-23

1. 知识背景与应用

1.1 知识点概述

确界原理是刻画实数完备性的基本原理之一。它说明：一个非空实数集只要有上界，就一定存在最小上界；只要有下界，就一定存在最大下界。这里的“最小上界”和“最大下界”分别称为上确界和下确界。

确界与最大值、最小值既有联系又有区别。最大值和最小值必须是原集合中的元素，而上确界和下确界未必属于原集合。例如，开区间 \((0,1)\) 没有最大值和最小值，但它的上确界和下确界分别是 \(1\) 和 \(0\)。

确界原理揭示了实数集 \(\mathbb{R}\) 与有理数集 \(\mathbb{Q}\) 的本质差别。它为数列极限、函数极限、连续性等概念提供理论基础，也解释了微积分为什么通常建立在实数系上。

1.2 与其他课程或知识点的联系

关联知识点 1

相关知识点ID： {相关知识点ID}

相关知识点名称： 实数的引入与定义

关系类型： 后续

关系说明： 戴德金分割是证明确界原理的基础，确界原理则可以帮助理解为什么要用戴德金分割的方式构造实数

关联知识点 2

相关知识点ID： {相关知识点ID}

相关知识点名称： 有界闭区间套定理

关系类型： 前置、对比

关系说明： 两者相互等价，同为实数完备性的体现

关联知识点 3

相关知识点ID： {相关知识点ID}

相关知识点名称： 数列收敛的判断与实数完备性

关系类型： 前置、对比

关系说明： 《数列收敛的判断》中介绍的三个定理需要确界原理证明。事实上这三个定理与确界原理，有界闭区间套定理相互等价，它们都反映了实数的完备性。

关联知识点 4

相关知识点ID： {相关知识点ID}

相关知识点名称： 幂函数、指数函数、对数函数

关系类型： 前置

关系说明： 《数列收敛的判断》中介绍的三个定理需要确界原理证明。事实上这三个定理与确界原理，有界闭区间套定理相互等价，它们都反映了实数的完备性。

2. 知识点正文

上界、下界

设 \(A\subseteq\mathbb{R}\)，且 \(A\ne\varnothing\)。如果存在 \(M\in\mathbb{R}\)，使得对任意 \(x\in A\) 都有

那么称 \(M\) 是集合 \(A\) 的一个上界，并称 \(A\) 有上界。

同理，如果存在 \(m\in\mathbb{R}\)，使得对任意 \(x\in A\) 都有

那么称 \(m\) 是集合 \(A\) 的一个下界，并称 \(A\) 有下界。如果 \(A\) 既有上界又有下界，就称 \(A\) 有界。

上界和下界通常不唯一。例如，对集合 \(A=(0,1)\)，任意不小于 \(1\) 的实数都是它的上界，任意不大于 \(0\) 的实数都是它的下界。一般地：

• 若 \(M\) 是 \(A\) 的上界，则每个满足 \(M'\ge M\) 的实数 \(M'\) 也是 \(A\) 的上界；
• 若 \(m\) 是 \(A\) 的下界，则每个满足 \(m'\le m\) 的实数 \(m'\) 也是 \(A\) 的下界。

集合 \(A\) 有界也可以等价地表述为：存在 \(K>0\)，使得对任意 \(x\in A\) 都有

最大值、最小值

如果 \(M\in A\)，并且 \(M\) 是 \(A\) 的上界，就称 \(M\) 是 \(A\) 的最大值，记为 \(M=\max A\)。

如果 \(m\in A\)，并且 \(m\) 是 \(A\) 的下界，就称 \(m\) 是 \(A\) 的最小值，记为 \(m=\min A\)。

最大值和最小值如果存在，就一定唯一。它们不仅要控制集合中其他元素的大小，还必须属于集合本身。例如：

• 闭区间 \([0,1]\) 的最大值是 \(1\)，最小值是 \(0\)；
• 开区间 \((0,1)\) 没有最大值和最小值，因为端点 \(0\) 和 \(1\) 不属于该区间。

上确界、下确界

设非空集合 \(A\subseteq\mathbb{R}\) 有上界。如果实数 \(\alpha\) 满足：

1. \(\alpha\) 是 \(A\) 的上界，即对任意 \(x\in A\) 都有 \(x\le\alpha\)；
2. \(\alpha\) 不大于 \(A\) 的任何其他上界，

那么称 \(\alpha\) 是 \(A\) 的上确界，记为 \(\alpha=\sup A\)。换言之，上确界是集合所有上界中的最小者。

类似地，若非空集合 \(A\) 有下界，并且实数 \(\beta\) 满足：

1. \(\beta\) 是 \(A\) 的下界，即对任意 \(x\in A\) 都有 \(\beta\le x\)；
2. \(\beta\) 不小于 \(A\) 的任何其他下界，

那么称 \(\beta\) 是 \(A\) 的下确界，记为 \(\beta=\inf A\)。换言之，下确界是集合所有下界中的最大者。

确界原理

上确界原理：每一个非空且有上界的实数集都有上确界。

具体地说，若 \(A\subseteq\mathbb{R}\)、\(A\ne\varnothing\)，并且存在 \(M\in\mathbb{R}\)，使得对任意 \(x\in A\) 都有 \(x\le M\)，那么存在唯一的 \(\alpha\in\mathbb{R}\)，使得 \(\alpha=\sup A\)。

相应地，有如下结论。

下确界原理：每一个非空且有下界的实数集都有下确界。

上确界原理与下确界原理相互等价。令

则有

因此，只要证明其中一个原理，就可以推出另一个原理，二者统称为确界原理。

确界的邻近性刻画

这是我们常使用的对确界的刻画。

设非空集合 \(A\subseteq\mathbb{R}\) 有上界，则 \(\alpha=\sup A\) 当且仅当：

1. 对任意 \(x\in A\)，都有 \(x\le\alpha\)；
2. 对任意 \(\varepsilon>0\)，都存在 \(x_\varepsilon\in A\)，使得

第一个条件说明 \(\alpha\) 是上界，第二个条件说明任何比 \(\alpha\) 小的数都不是上界。也就是说，集合 \(A\) 中总有元素从左侧任意接近 \(\alpha\)。

类似地，\(\beta=\inf A\) 当且仅当：

1. 对任意 \(x\in A\)，都有 \(\beta\le x\)；
2. 对任意 \(\varepsilon>0\)，都存在 \(x_\varepsilon\in A\)，使得

由戴德金分割证明确界原理

下面沿用前文的约定：实数 \(x\) 由相应的戴德金分割 \(A_x\) 表示，并且实数的大小关系由分割之间的包含关系定义。本证明较为抽象，不做重点，了解即可。对《高等微积分》来说，确界性质本身比它的证明重要。

设 \(E\subseteq\mathbb{R}\) 非空且有上界。对每个 \(x\in E\)，记 \(A_x\) 为 \(x\) 所对应的戴德金分割。定义

下面证明 \(A\) 是一个戴德金分割，并且它所代表的实数就是 \(E\) 的上确界。

第一步：证明 \(A\) 是戴德金分割。

因为 \(E\ne\varnothing\)，可以取 \(x_0\in E\)。由

以及 \(A_{x_0}\ne\varnothing\)，可知 \(A\ne\varnothing\)。

又因为 \(E\) 有上界，可以取 \(E\) 的一个上界 \(u\)。对任意 \(x\in E\)，都有 \(x\le u\)，因此

对所有 \(x\in E\) 取并集，得到

由于 \(A_u\subsetneq\mathbb{Q}\)，所以 \(A\subsetneq\mathbb{Q}\)。

最后，设 \(q\in A\)，且 \(p\in\mathbb{Q}\) 满足 \(p<q\)。由并集的定义，存在 \(x\in E\)，使得 \(q\in A_x\)，所以 \(p\in A_x\)，从而 \(p\in A\)。

综上，\(A\) 非空、不是整个 \(\mathbb{Q}\)，并且向下封闭，所以 \(A\) 是一个戴德金分割。于是存在实数 \(\alpha\)，使得

第二步：证明 \(\alpha\) 是 \(E\) 的上界。

任取 \(x\in E\)。由并集的定义可知

根据实数序的定义，有 \(x\le\alpha\)。由于 \(x\) 是任意的，所以 \(\alpha\) 是 \(E\) 的上界。

第三步：证明 \(\alpha\) 是 \(E\) 的最小上界。

设 \(v\) 是 \(E\) 的任意一个上界。对每个 \(x\in E\)，都有 \(x\le v\)，从而

因此

根据实数序的定义，有 \(\alpha\le v\)。也就是说，\(\alpha\) 不大于 \(E\) 的任意上界，所以 \(\alpha\) 是 \(E\) 的最小上界，即

这就证明了上确界原理。

对于非空且有下界的集合 \(E\)，集合 \(-E\) 非空且有上界。由已经证明的上确界原理，\(\sup(-E)\) 存在，而

因此 \(E\) 存在下确界，下确界原理也得证。

证明的核心可以概括为：在戴德金分割模型中，实数的序就是集合包含关系，而一族有共同上界的分割的并集，恰好是包含这一族分割的最小分割。

附录：主要依据与修订

主要依据

{简要列出教材章节与页码、课件页码、讲义位置或课程组自编说明。不需要建立资料 ID。}

复核确认

• [ ] 基本信息与 Excel 一致。
• [ ] 关联知识点与 Excel 一致。
• [ ] 正文符合当前课程的教学范围。
• [ ] 关键概念、公式、推导、图示和示例准确。
• [ ] 正文易于同学连续阅读，不是机械拼接的栏目。
• [ ] 未加入资料清单、题库、自测、答案或判分规则。

修订记录