聚点定理

0. 基本信息

课程名称

高等微积分

课程ID

{课程ID}

章节/单元

2 极限与连续

小节

2.2 数列收敛与实数完备性

知识点名称

标准名称：聚点定理 别名：波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理，魏尔斯特拉斯聚点定理，致密性定理，列紧性

知识点ID

{项目组统一定义的知识点ID}

知识点类型

方法

知识点层级

核心

难度

4

重要程度

3

建议学习时长

30 分钟

填写与复核

填写人： 孟广轩 复核人： {姓名}
版本与日期： v0.1，2026-07-24

1. 知识背景与应用

1.1 知识点概述

聚点定理表明有界实数列必有收敛子列，或说实数轴上有界无限点集必有聚点，是证明存在性的常用方法之一。

1.2 与其他课程或知识点的联系

关联知识点 1

相关知识点ID： {相关知识点ID}

相关知识点名称： 有界闭区间套定理

关系类型： 后续、对比

关系说明： 二者相互等价

关联知识点 2

相关知识点ID： {相关知识点ID}

相关知识点名称： 单调有界收敛定理

关系类型： 对比

关系说明： 相互等价，都反映实数完备性

关联知识点 3

相关知识点ID： {相关知识点ID}

相关知识点名称： 柯西收敛准则

关系类型： 对比

关系说明： 相互等价，都反映实数完备性

2. 知识点正文

子列

设 \(\{x_n\}\) 是一个数列，从正整数中选取一列严格递增的下标

\[ n_1<n_2<\cdots<n_k<\cdots, \]

按照原数列中的顺序得到数列

\[ x_{n_1},x_{n_2},\ldots,x_{n_k},\ldots. \]

称数列 \(\{x_{n_k}\}\) 为 \(\{x_n\}\) 的一个子列。子列中的项必须来自原数列，并且保持原有的先后顺序，但不要求下标连续。

如果原数列收敛于 \(a\)，那么它的任意子列也收敛于 \(a\)。反过来，一个子列收敛并不能保证原数列收敛。

聚点

数列的聚点

设 \(\{x_n\}\) 是一个数列。如果存在 \(\{x_n\}\) 的一个子列 \(\{x_{n_k}\}\)，使得

\[ \lim_{k\to\infty}x_{n_k}=a, \]

那么称 \(a\) 为数列 \(\{x_n\}\) 的一个聚点，也称为该数列的子列极限。

一个数列可能没有聚点，也可能有一个或多个聚点。例如，数列 \(\{(-1)^n\}\) 有两个聚点 \(-1\) 和 \(1\)。

点集的聚点

设 \(E\subseteq\mathbb{R}\)，\(a\in\mathbb{R}\)。如果对任意 \(\varepsilon>0\)，都有

\[ (a-\varepsilon,a+\varepsilon) \cap\bigl(E\setminus\{a\}\bigr) \neq\varnothing, \]

那么称 \(a\) 为点集 \(E\) 的一个聚点。也就是说，在 \(a\) 的任意小邻域内，都能找到不同于 \(a\) 的点集 \(E\) 中的点。聚点 \(a\) 本身不一定属于 \(E\)。

数列的聚点与其值域点集的聚点需要加以区分。例如，常数列 \(x_n=c\) 有聚点 \(c\)，但它的值域只有一个点，点集 \(\{c\}\) 没有聚点。

聚点定理

数列版本

定理： 每个有界实数列都至少有一个聚点。等价地，每个有界实数列都存在收敛子列。

证明： 设 \(\{x_n\}\) 是有界实数列。故存在 \(M>0\)，使得对任意正整数 \(n\)，都有

\[ \lvert x_n\rvert\leq M. \]

于是，数列的所有项都位于闭区间

\[ I_1\coloneqq[-M,M] \]

内，因此 \(I_1\) 中包含数列的无穷多项。

将 \(I_1\) 二等分为两个闭区间。至少有一个子区间包含数列的无穷多项，否则两个子区间中都只包含有限多项，它们的并集 \(I_1\) 也只能包含有限多项。选取一个包含数列无穷多项的子区间，记为 \(I_2\)。

继续这一过程：将 \(I_k\) 二等分，并选取其中一个包含数列无穷多项的闭子区间作为 \(I_{k+1}\)。由此得到一个闭区间套

\[ I_1\supseteq I_2\supseteq\cdots\supseteq I_k\supseteq\cdots. \]

将 \(I_k\) 记为

\[ I_k=[\alpha_k,\beta_k]. \]

由于每一步都把区间二等分，所以

\[ \beta_k-\alpha_k =\frac{2M}{2^{k-1}} \to0, \qquad k\to\infty. \]

根据有界闭区间套定理，存在唯一的实数 \(a\)，使得

\[ a\in\bigcap_{k=1}^{\infty}I_k. \]

因为每个 \(I_k\) 都包含数列的无穷多项，所以可以依次选取严格递增的正整数

\[ n_1<n_2<\cdots<n_k<\cdots, \]

使得

\[ x_{n_k}\in I_k. \]

又因为 \(a\in I_k\)，所以

\[ \lvert x_{n_k}-a\rvert \leq\beta_k-\alpha_k =\frac{2M}{2^{k-1}} \to0, \qquad k\to\infty. \]

因此

\[ \lim_{k\to\infty}x_{n_k}=a. \]

这说明 \(\{x_{n_k}\}\) 是 \(\{x_n\}\) 的一个收敛子列，所以有界数列 \(\{x_n\}\) 至少有一个聚点。

点集版本

定理： 实数轴上的每个有界无限点集都至少有一个聚点。

证明： 设 \(E\subseteq\mathbb{R}\) 是有界无限点集。因为 \(E\) 中有无穷多个互不相同的点，所以可以从中依次选取互不相同的点，组成数列 \(\{x_n\}\)。该数列有界，根据聚点定理的数列版本，\(\{x_n\}\) 存在收敛子列 \(\{x_{n_k}\}\)。设

\[ \lim_{k\to\infty}x_{n_k}=a. \]

任取 \(\varepsilon>0\)，从某一项开始都有

\[ x_{n_k}\in(a-\varepsilon,a+\varepsilon). \]

由于子列中的点彼此不同，在上述邻域内总能找到不同于 \(a\) 的点 \(x_{n_k}\in E\)。因此

\[ (a-\varepsilon,a+\varepsilon) \cap\bigl(E\setminus\{a\}\bigr) \neq\varnothing. \]

由 \(\varepsilon\) 的任意性可知，\(a\) 是点集 \(E\) 的聚点。

附录：主要依据与修订

主要依据

{简要列出教材章节与页码、课件页码、讲义位置或课程组自编说明。不需要建立资料 ID。}

复核确认

[ ] 基本信息与 Excel 一致。
[ ] 关联知识点与 Excel 一致。
[ ] 正文符合当前课程的教学范围。
[ ] 关键概念、公式、推导、图示和示例准确。
[ ] 正文易于同学连续阅读，不是机械拼接的栏目。
[ ] 未加入资料清单、题库、自测、答案或判分规则。

修订记录

版本	日期	修改人	修改内容	复核结论
v0.1	YYYY-MM-DD	{姓名}	初稿	{待复核 / 通过 / 需修改}