分析方法

结点电压法

基本思想与适用场景

• 选一个结点为参考地，令其电位为零；其余结点电压作为未知量。
• 电路有 \(n\) 个结点时，通常只有 \(n-1\) 个独立结点电压，也只需列 \(n-1\) 个独立 KCL 方程。
• 结点电压的定义已自动保证任意回路满足 KVL；支路的元件约束关系在把支路电流写成结点电压时自动代入。
• 并联支路多、电流源多、含压控电流源时尤其方便，也是电路仿真中改进结点分析法的基础。

标准列式

对结点 \(k\)，统一采用“流出结点的支路电流之和等于注入结点的独立源电流”：

全部结点方程可写成

对于只含独立电阻的网络：

• \(G_{kk}\)：连接到结点 \(k\) 的全部电导之和；
• \(G_{km}\;(k\ne m)\)：结点 \(k,m\) 之间电导的负值；
• \(\mathbf I\)：按约定方向注入各结点的独立电流源代数和。

操作步骤

1. 标出全部结点，选择连接支路最多或公共端最多的结点为参考地。
2. 定义其余结点电压及支路电流参考方向。
3. 对每个非参考结点列 KCL，并用广义欧姆定律消去支路电流。
4. 将受控源控制量用结点电压表示；受控源不能置零。
5. 整理成矩阵并求解，再由结点电压得到支路电流、功率和传递关系。

特殊支路

• 结点到地的理想电压源：该结点电压已知，不必再为它列独立方程。
• 两个非参考结点之间的理想电压源：将两结点及电压源视为超结点，对超结点整体列 KCL，再补充约束

$$ V_a-V_b=V_s. $$

• 受控电流源：直接作为 KCL 中的电流项，控制量用结点电压表示。
• 受控电压源：通常使用超结点，或引入该电压源电流作为附加未知量。
• 正弦稳态与 \(s\) 域：把电导替换成复导纳 \(Y(j\omega)\) 或 \(Y(s)\)，列式结构不变。

动态电路中的元件导纳

零初始条件下：

非零初始条件不能遗漏，需把初值等效为附加源，或直接用状态方程处理。

检查

• 矩阵每一行各项量纲应一致；电导矩阵乘电压的量纲必须是电流。
• 纯无源互易电阻网络的 \(\mathbf G\) 通常对称；出现非对称项时应确认是否来自受控源。
• 令某电阻趋于 \(0\) 或 \(\infty\)，结果应退化为短路或开路的直观结论。
• 每个结点代回后应满足 KCL，计算所得功率还应满足功率守恒。

回路电流法

基本思想与独立回路数

• 以独立回路电流为未知量，对每个独立回路列 KVL。
• 连通电路有 \(b\) 条支路、\(n\) 个结点时，独立回路数为

$$ l=b-n+1. $$

• 对平面电路，可直接选各网孔电流；回路电流的定义自动保证 KCL。
• 串联结构多、电压源多、网孔数少时较方便。

标准列式

统一令网孔电流同向，可写成

对纯电阻平面网络：

• \(R_{kk}\)：网孔 \(k\) 周边全部电阻之和；
• \(R_{km}\;(k\ne m)\)：网孔 \(k,m\) 公共电阻的负值；若两个回路电流在公共支路同向，则按参考方向改符号；
• \(\mathbf V_s\)：各网孔内电压源沿回路方向的电压升代数和。

公共支路电流是相邻网孔电流的代数差。例如公共电阻 \(R\) 上，若两个网孔电流均取顺时针，则支路压降为 \(R(I_1-I_2)\)。

操作步骤

1. 统计独立回路，给每个网孔定义回路电流。
2. 对各回路列 KVL；公共支路用回路电流之差表示。
3. 将受控源控制量改写为回路电流或相关支路电压。
4. 整理矩阵并求解，再还原实际支路电流和结点电压。

特殊支路

• 只属于一个网孔的理想电流源：该网孔电流由电流源直接给定。
• 位于两个网孔公共边界的理想电流源：建立超网孔，绕开电流源列 KVL，再补充约束

$$ I_1-I_2=I_s $$

（符号由参考方向决定）。 - 受控电流源：除超网孔方程外，还需保留控制关系。 - 正弦稳态与 \(s\) 域：把电阻矩阵换成阻抗矩阵，方法不变。

与结点电压法的选择

网络参数（网络参量）

端口约定

二端口网络通常规定 \(V_1,V_2\) 为端口上端对下端的电压，\(I_1,I_2\) 均流入网络。参数定义必须与电流参考方向一起写明；不同教材若把端口 2 电流定义为流出网络，公式中的符号会变化。

常用参数组

阻抗参数 \(Z\)

参数可由开路试验获得，例如

导纳参数 \(Y\)

参数可由短路试验获得，例如

若矩阵可逆，则

混合参数 \(h\)

它适合“输入端像电流驱动、输出端像电压驱动”的晶体管等效模型。四个参数分别具有输入阻抗、反向电压增益、正向电流增益、输出导纳的量纲或意义。

传输参数 \(ABCD\)

采用端口电流均流入网络的约定：

级联网络的总传输矩阵是各级矩阵按信号方向相乘：

常用基本块：

因此 \(ABCD\) 参数特别适合梯形网络和级联网络。

负载接入后的常用结果

若端口 2 接负载 \(Z_L\)，则 \(V_2=-Z_LI_2\)。使用 \(Z\) 参数：

若输入源置零后端口 1 以 \(Z_S\) 终接：

使用 \(ABCD\) 参数：

若戴维南源 \(V_S,Z_S\) 驱动网络，则

网络属性与参数判据

在上述参考方向下：

• 互易网络：\(Z_{12}=Z_{21}\)、\(Y_{12}=Y_{21}\)、\(h_{12}=-h_{21}\)，或 \(AD-BC=1\)；
• 对称网络除满足相应互易关系外，还满足 \(Z_{11}=Z_{22}\)、\(Y_{11}=Y_{22}\)，用传输参数表示为 \(A=D\)；
• 单向网络：反向传输参数为零，例如 \(Y_{12}=0\)；此时输入、输出端的相互加载明显简化；
• 无源网络在任意允许端口状态下吸收的总平均功率不应为负。

使用要点

• 选择与外接关系匹配的参数：并联/电流问题优先 \(Y\)，串联/电压问题优先 \(Z\)，级联优先 \(ABCD\)。
• 测参数时的“开路”“短路”是端口边界条件，不是随意删掉内部器件。
• 双向网络的输入阻抗依赖输出负载，输出阻抗也依赖源端终接；只有理想单向网络才可忽略反向加载。

网络函数

定义与分类

在线性时不变网络、零初始条件下，响应的拉普拉斯变换与激励的拉普拉斯变换之比称为网络函数：

网络函数分为：

• 策动点函数：激励和响应位于同一端口，如输入阻抗 \(Z(s)=V(s)/I(s)\)、输入导纳 \(Y(s)=I(s)/V(s)\)；
• 转移函数：激励和响应位于不同位置，如电压增益、电流增益、跨导和跨阻。

有限维集总 LTI 网络的网络函数通常为实系数有理式：

其中 \(z_i\) 为零点，\(p_k\) 为极点。极点决定系统自身的瞬态形态与稳定性，零点决定某些输入分量如何被抑制或抵消。

与时域、频域的关系

若系统稳定且频率响应存在：

于是正弦输入 \(x(t)=X_m\cos(\omega t+\phi_x)\) 的稳态输出为

零极点与基本性质

• 连续时间因果有理系统要求分母阶数不低于分子阶数，否则需要理想微分环节才能实现。
• 稳定因果系统的全部极点应位于左半 \(s\) 平面；虚轴极点对应无衰减振荡，右半平面极点对应增长响应。
• 实系数系统的非实零点、极点必成共轭对出现。
• 网络函数只描述零状态输入输出关系；非零初始储能引起的零输入响应应另行加入。

传递函数

常见定义

在零初始条件下：

前两者无量纲，跨导 \(G_m\) 的量纲为 S，跨阻 \(R_m\) 的量纲为 \(\Omega\)。必须注明输入、输出定义和负载条件；“空载电压增益”和“带载电压增益”不是同一个量。

求取路线

1. 直接列方程：在 \(s\) 域用结点电压法或回路电流法，消去中间变量。
2. 分压、分流和等效电路：适合结构简单或已经识别出标准功能块的电路。
3. 二端口参数法：先求网络参数，再接入源和负载。
4. 倒推法：假设输出量已知，从负载端向输入端逐级表示，最终得到输入/输出之比，适合梯形网络。
5. 状态空间法：由

$$ \dot{\mathbf x}=\mathbf A\mathbf x+\mathbf B\mathbf u, \qquad \mathbf y=\mathbf C\mathbf x+\mathbf D\mathbf u $$

得到

$$ \mathbf H(s)=\mathbf C(s\mathbf I-\mathbf A)^{-1}\mathbf B+\mathbf D. $$

一阶标准形式

令 \(\omega_0=1/\tau\)：

在 \(\omega=\omega_0\) 处，幅度为通带值的 \(1/\sqrt2\)，即下降 \(3\,\mathrm{dB}\)。

二阶标准形式

公共分母为

典型传递函数：

级联与反馈

• 理想单向模块级联时：

$$ H_{\mathrm{tot}}(s)=\prod_k H_k(s). $$

• 双向网络级联时，前后级之间存在加载，不能直接把孤立测得的传递函数相乘；应使用 \(ABCD\) 参数或把级间阻抗纳入每一级。
• 负反馈结构若前向通道为 \(A(s)\)、反馈通道为 \(F(s)\)，在负反馈符号约定下：

$$ T(s)=\frac{A(s)}{1+A(s)F(s)}. $$

三项必查

• 量纲检查：可相加项必须同量纲，指数和三角函数的自变量必须无量纲。
• 极端检查：令 \(s\to0\)、\(s\to\infty\)，结果应符合电容直流开路/高频短路、电感直流短路/高频开路的直觉。
• 阶数检查：分母最高阶一般等于独立储能状态数；若发生极零抵消，要确认是结构性抵消还是推导错误。

三要素/五要素法

一阶 LTI 系统的三要素法

一阶系统的全响应可写成“稳态响应＋指数衰减瞬态”：

三个要素是：

1. 初值 \(x(0^+)\)：先求 \(0^-\) 稳态，再用状态连续性。理想条件下

$$ v_C(0^+)=v_C(0^-),\qquad i_L(0^+)=i_L(0^-). $$

电阻电压、电容电流、电感电压等非状态变量可以突变，必须根据 \(0^+\) 等效电路重算。

1. 时间常数 \(\tau\)：将独立源置零，从储能元件端口看入其余线性网络：

$$ \tau_{RC}=R_{\mathrm{eq}}C, \qquad \tau_{RL}=\frac{L}{R_{\mathrm{eq}}}=G_{\mathrm{eq}}L. $$

独立电压源置零为短路，独立电流源置零为开路；受控源保留。含受控源时可在端口加测试源求 \(R_{\mathrm{eq}}=V_t/I_t\)。

1. 稳态响应 \(x_\infty(t)\)：直流激励用电容开路、电感短路；正弦激励用相量法；其他输入可猜测与激励同形的特解并代回方程。

若稳态为常量终值 \(x(\infty)\)，公式简化为

工程上 \(5\tau\) 后瞬态只剩 \(e^{-5}\approx0.67\%\)，常近似认为已进入稳态。

分段换路

若开关在多个时刻动作，应按时间段处理。每一段都以前一段末值作为下一段初值：

仅对状态变量成立；每次换路后都要重新计算该段的拓扑、稳态响应和时间常数。

二阶 LTI 系统的五要素法

课程讲义把二阶系统概括为五个要素：稳态响应、两个初值、两个特征根。对一般 \(n\) 阶 LTI 系统，相应需要 \(2n+1\) 个要素：一个稳态/强迫响应、\(n\) 个初始条件和 \(n\) 个特征根。

标准二阶特征方程：

串联、并联 RLC 的常用参数：

令 \(y(t)=x(t)-x_\infty(t)\)，并计算

不同阻尼下：

• 欠阻尼 \(0<\xi<1\)：令 \(\alpha=\xi\omega_0\)、\(\omega_d=\omega_0\sqrt{1-\xi^2}\)，

$$ y(t)=e^{-\alpha t}\left[ y_0\cos\omega_dt+ \frac{\dot y_0+\alpha y_0}{\omega_d}\sin\omega_dt \right]. $$

• 临界阻尼 \(\xi=1\)：

$$ y(t)=\left[y_0+(\dot y_0+\omega_0y_0)t\right]e^{-\omega_0t}. $$

• 过阻尼 \(\xi>1\)：

$$ y(t)=C_1e^{\lambda_1t}+C_2e^{\lambda_2t}, $$

$$ C_1=\frac{\dot y_0-\lambda_2y_0}{\lambda_1-\lambda_2},\qquad C_2=\frac{\lambda_1y_0-\dot y_0}{\lambda_1-\lambda_2}. $$

• 无阻尼 \(\xi=0\)：等幅正弦振荡；若系统含损耗却得到 \(\xi=0\)，应检查建模。

状态方程法

状态变量与系统阶数

状态变量是能在给定输入后唯一决定系统未来行为的一组最少变量。电路中通常选择独立电容电压和独立电感电流：

状态数不一定等于电容、电感的简单个数：纯电容回路、纯电感割集和理想变压器等约束会使储能变量不独立。

标准形式

LTI 电路写成

\(\mathbf A\) 只由系统结构和元件参数决定；其特征值就是系统极点。课程讲义也把独立源作用合并写成 \(\dot{\mathbf x}=\mathbf A\mathbf x+\mathbf s(t)\)，两种写法等价。

列方程的实用方法

1. 选定独立的 \(v_C,i_L\) 并规定方向。
2. 暂把每个电容用电压源 \(v_C\) 替代，每个电感用电流源 \(i_L\) 替代。
3. 用结点电压法、回路电流法或等效电路求每个电容电流 \(i_C\) 和电感电压 \(v_L\)。
4. 使用

$$ \dot v_C=\frac{i_C}{C},\qquad \dot i_L=\frac{v_L}{L} $$

整理成状态方程。 5. 将所需输出写成状态和输入的代数组合。

串联 RLC 例

以 \(x=[v_C,\,i_L]^T\)、输入为 \(v_s\)：

它同时包含 KCL、KVL 和元件约束，求出状态后，任意支路量都可由状态和输入恢复。

通解与状态转移

在 \(t_0\) 给定初态：

第一项是零输入响应，第二项是零状态响应。状态转移矩阵

把过去状态映射到当前状态。若输入为常量且 \(\mathbf A\) 可逆，稳态为

使用与检查

• 高阶、多输入多输出、分段切换系统优先考虑状态方程；一阶、二阶单输出题用三/五要素法通常更快。
• 每个状态方程左侧量纲必须是“状态量/秒”。
• \(\det(s\mathbf I-\mathbf A)=0\) 给出的特征根应与由传递函数分母或微分方程得到的根一致。
• 对稳定无源电路，\(\mathbf A\) 的特征值实部应不大于零；出现右半平面根时，应检查是否有有源/负阻结构或符号错误。

相量法

适用条件

相量法用于 LTI 电路在单频正弦激励下的稳态分析。它不直接给出接通瞬间的瞬态，也不能直接用于开关时变电路或跨工作区的非线性电路；非线性器件必须先在工作点附近小信号线性化。

若采用峰值相量：

全篇也可使用有效值相量，但功率公式必须与所选约定一致，不能混用峰值和有效值。

微分、积分与元件关系

在同一角频率 \(\omega\) 下：

于是微分方程被转换为复数代数方程，KCL、KVL、分压、分流、戴维南/诺顿、结点电压法和回路电流法都可原样使用。

分析步骤

1. 确认只求正弦稳态，并统一使用余弦参考。
2. 把每个正弦源变为相量，把 \(R,L,C\) 变为阻抗或导纳。
3. 在相量域列方程并求复数结果。
4. 将复数写成极坐标形式，读取幅值和相位。
5. 还原时域表达式；若题目还要求接通瞬态，再叠加由初值决定的自然响应。

若存在多个不同频率的正弦源，应对每个频率分别建相量电路，求解后在时域相加；不同频率的相量不能直接相加。

功率

采用有效值相量时：

\(\phi=\angle V-\angle I\)。电阻消耗平均功率；理想电容、电感的平均功率为零，只在源与储能元件之间往返交换能量。

若使用峰值相量，复功率前需乘 \(1/2\)：

检查

• \(\omega\to0\)：电容开路、电感短路；\(\omega\to\infty\)：电容短路、电感开路。
• 被动电感电流应滞后电压 \(90^\circ\)，被动电容电流应超前电压 \(90^\circ\)。
• 复功率守恒：全部元件吸收复功率代数和等于全部电源发出复功率。

方法选择速查