范数、距离、绝对值

0. 基本信息

课程名称

高等微积分

课程ID

{课程ID}

章节/单元

1 实数与实数的运算

小节

1.2 实数的运算与大小

知识点名称

标准名称：范数、距离、绝对值
别名：长度（范数的通俗理解）、模（在实数范围内绝对值的别称）

知识点ID

{项目组统一定义的知识点ID}

知识点类型

概念

知识点层级

一般

难度

2

重要程度

4

建议学习时长

20分钟

填写与复核

填写人： 孟广轩 复核人： {姓名}
版本与日期： v0.1，2026-07-23

1. 知识背景与应用

1.1 知识点概述

本知识点定义了向量空间中的范数与距离，并指出绝对值就是实数域上的一种范数，两个实数差的绝对值就是一种距离。范数的概念会在《线性代数》《高等微积分（2）》中多次提及，而有了距离的概念才能定义极限、连续等重要概念。

1.2 与其他课程或知识点的联系

关联知识点 1

相关知识点ID： {相关知识点ID}

相关知识点名称： 数列收敛、数列极限的概念

关系类型： 应用

关系说明： 极限描述的是“逼近”过程，“近”要靠距离定义

关联知识点 2

相关知识点ID： {相关知识点ID}

相关知识点名称： 函数极限的概念

关系类型： 应用

关系说明： 极限描述的是“逼近”过程，“近”要靠距离定义

关联知识点 3

相关知识点ID： {相关知识点ID}

相关知识点名称： 函数连续的概念

关系类型： 应用

关系说明： 连续描述的是当自变量离得足够近，函数值可以离得任意近。“近”同样要靠距离定义。

关联知识点 3

相关知识点ID： {相关知识点ID}

相关知识点名称： 实数域

关系类型： 后续

关系说明： 绝对值的定义依赖实数的序和运算

2. 知识点正文

范数概念

范数用来衡量向量的“大小”或“长度”。设 \(V\) 是实数域 \(\mathbb{R}\) 上的向量空间。若映射

对任意 \(x,y\in V\) 和 \(\lambda\in\mathbb{R}\) 满足：

1. 正定性：\(\lVert x\rVert\ge0\)，且 \(\lVert x\rVert=0\iff x=0\)；
2. 正齐次性：\(\lVert \lambda x\rVert=\lvert \lambda\rvert \lVert x\rVert\)；
3. 三角不等式：\(\lVert x+y\rVert\le\lVert x\rVert+\lVert y\rVert\)，

则称 \(\lVert \cdot\rVert\) 是 \(V\) 上的一个范数，称赋予了该范数的向量空间为赋范空间。

在本章的一元微积分语境中，主要研究 \(V=\mathbb{R}\) 的情形。此时范数就是实数的绝对值。

范数与距离

范数可以自然地定义两点之间的距离：

由范数的三条性质可得，距离 \(d\) 满足：

1. \(d(x,y)\ge0\)，且 \(d(x,y)=0\iff x=y\)；
2. \(d(x,y)=d(y,x)\)；
3. \(d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)\)。

第 3 条仍称为三角不等式，它表明从 \(x\) 直接到 \(z\) 的距离不超过经由 \(y\) 的距离之和。

在实数轴上，两点 \(x,y\) 之间的距离为

这一表达式是定义邻域、数列极限、函数极限和连续性的基础。

绝对值

对任意 \(x\in\mathbb{R}\)，定义

\(|x|\) 表示实数 \(x\) 到原点的距离，因此它只反映大小，不反映方向。

绝对值具有以下基本性质：

• \(\lvert x\rvert\ge0\)，且 \(\lvert x\rvert=0\iff x=0\)；
• \(\lvert -x\rvert=\lvert x\rvert\)；
• \(\lvert xy\rvert=\lvert x\rvert,\lvert y\rvert\)；
• 若 \(y\ne0\)，则 \(\lvert \frac{x}{y}\rvert=\frac{\lvert x \rvert}{\lvert y\rvert}\)；
• \(\lvert x+y\rvert\le\lvert x\rvert+\lvert y\rvert\)（三角不等式）；
• \(\lvert \lvert x\rvert-\lvert y\rvert \rvert \le\lvert x-y\rvert\)（反三角不等式）。

反三角不等式可由三角不等式推出。由

可得 \(\lvert x\rvert-\lvert y\rvert\le\lvert x-y\rvert\)；交换 \(x,y\) 又得 \(\lvert y\rvert-\lvert x\rvert\le\lvert x-y\rvert\)，于是

附录：主要依据与修订

主要依据

{简要列出教材章节与页码、课件页码、讲义位置或课程组自编说明。不需要建立资料 ID。}

复核确认

• [ ] 基本信息与 Excel 一致。
• [ ] 关联知识点与 Excel 一致。
• [ ] 正文符合当前课程的教学范围。
• [ ] 关键概念、公式、推导、图示和示例准确。
• [ ] 正文易于同学连续阅读，不是机械拼接的栏目。
• [ ] 未加入资料清单、题库、自测、答案或判分规则。

修订记录