实数的序与四则运算

标准名称和别名

标准名称：实数的序与四则运算
常用别名：实数域、实数的有序域结构

知识点概览

用戴德金分割构造出实数以后，还需要在实数集上定义大小关系和四则运算，并证明这些定义符合熟悉的运算规律。完成这些工作后，实数集 \(\mathbb{R}\) 构成一个有序域：它既可以进行加、减、乘、除，又具有与这些运算相容的全序。

本节沿用戴德金分割的“闭下集”约定：实数 \(x\) 对应

\[ A_x=\{q\in\mathbb{Q}:q\le x\}. \]

因此，下文的 \(A,B\) 既表示戴德金分割，也表示它们所代表的实数。

实数的序

对 \(A,B\in\mathbb{R}\)，定义

\[ A\le B\iff A\subseteq B. \]

记 \(A<B\) 表示 \(A\le B\) 且 \(A\ne B\)，即 \(A\subsetneq B\)。实数越大，不超过它的有理数就越多，因此这个定义与数轴上的大小关系一致。

这个关系具有自反性、反对称性、传递性和完全性。也就是说，对任意 \(A,B\in\mathbb{R}\)，总有 \(A\le B\) 或 \(B\le A\)。所以 \(\le\) 是 \(\mathbb{R}\) 上的全序关系。

加法、加法逆元与减法

对 \(A,B\in\mathbb{R}\)，定义

\[ A+B=\left\{r\in\mathbb{Q}:\forall a\in\mathbb{Q}\setminus A, \forall b\in\mathbb{Q}\setminus B, r\le a+b\right\}. \]

若 \(A\) 表示 \(x\)，\(B\) 表示 \(y\)，那么 \(a>x\) 且 \(b>y\)。上式收集的正是不超过 \(x+y\) 的有理数，因而 \(A+B\) 表示通常意义下的和 \(x+y\)。

\(A\) 的加法逆元定义为

\[ -A=\left\{r\in\mathbb{Q}:\forall a\in A, r\le -a\right\}. \]

减法定义为 \(A-B=A+(-B)\)。加法单位元是

\[ 0=\{q\in\mathbb{Q}:q\le0\}. \]

于是 \(A+0=A\)，且 \(A+(-A)=0\)。

乘法、乘法逆元与除法

先定义非负实数的乘法。若 \(A\ge0\) 且 \(B\ge0\)，定义

\[ AB=\left\{r\in\mathbb{Q}:\forall a\in\mathbb{Q}\setminus A, \forall b\in\mathbb{Q}\setminus B, r\le ab\right\}. \]

对其他符号组合，再按照符号法则定义：

\[ (-A)B=-(AB),\qquad A(-B)=-(AB),\qquad (-A)(-B)=AB, \]

其中右端先对相应的非负分割作乘法。乘法单位元是

\[ 1=\{q\in\mathbb{Q}:q\le1\}. \]

若 \(A>0\)，定义其乘法逆元

\[ A^{-1}=\left\{r\in\mathbb{Q}:\forall a\in A\cap\mathbb{Q}_{>0}, \ r\le\frac1a\right\}. \]

若 \(A<0\)，则定义 \(A^{-1}=-((-A)^{-1})\)。零没有乘法逆元。除法定义为

\[ \frac AB=A\cdot B^{-1}\qquad(B\ne0). \]

实数的域性质

上述运算满足以下规律。对任意 \(A,B,C\in\mathbb{R}\)：

加法交换律：\(A+B=B+A\)；
加法结合律：\((A+B)+C=A+(B+C)\)；
乘法交换律：\(AB=BA\)；
乘法结合律：\((AB)C=A(BC)\)；
分配律：\(A(B+C)=AB+AC\)；
单位元：\(A+0=A\)，\(A\cdot1=A\)，且 \(0\ne1\)；
逆元：\(A+(-A)=0\)；当 \(A\ne0\) 时，\(AA^{-1}=1\)。

所以 \(\mathbb{R}\) 对加、减、乘、除（除数不为零）封闭，并在这些运算下构成一个域。

序与运算的相容性

实数的序与运算满足：

若 \(A\le B\)，则对任意 \(C\in\mathbb{R}\)，有 \(A+C\le B+C\)；
若 \(A\le B\) 且 \(C\ge0\)，则 \(AC\le BC\)。

因此，不等式两边加同一个实数时方向不变；两边乘正数时方向不变，乘负数时方向改变。例如，若 \(A<B\) 且 \(C<0\)，则 \(AC>BC\)。

综上，\(\mathbb{R}\) 是一个有序域。不过，“有序域”并不能唯一刻画实数，因为有理数集 \(\mathbb{Q}\) 也是有序域。实数与有理数的根本区别在于，\(\mathbb{R}\) 还具有完备性，其典型表述是确界原理。

微积分课程语境

典型位置：在介绍实数的构造之后、讲解实数的完备性之前。
教学作用：说明熟悉的实数运算和大小比较可以从严格的实数构造中建立，并为函数、极限、连续和导数的定义提供基础。
学习要求：理解序和四则运算的定义思路，掌握有序域的基本性质；对戴德金分割运算的全部技术性验证通常只需了解。

所属方向

数学分析 → 一元微积分 → 实数系 → 实数的运算、序与有序域结构。

节点类型

概念节点。本知识点为戴德金分割构造出的实数集赋予代数结构和序结构，是建立实数理论的基础节点。

难度

4。运算规律本身很熟悉，但从戴德金分割出发严格定义并验证这些规律较为抽象。

前置知识点

有理数的基本性质及其不完备性；
戴德金分割的定义，以及用有理数下集表示实数的方法。

后置知识点

绝对值、区间与邻域；
确界、确界原理与实数的完备性；
数列与函数的极限；
实数域上的初等函数及其运算。