一、动态电路 (Dynamic Circuits)

对于不同电路元件，有着不同的端口约束方程

元件	端口约束方程
电阻R	$V=IR$
电容C	$I=C\frac{dV}{dt}$
电感L	$V=L \frac{dI}{dt}$

电容与电感的端口约束方程存在微分关系，这两种元件的引入就使得电路分析从电阻电路进入到了动态电路。

对于动态电路，可以从以下视角分析 |阶数 |分析方法 | |--|--| | 一阶 |时域 | | 二阶 |频域 |

1.一阶电路 (First-Order Circuits)

核心方程与求解思路

时域特性

以 RC 电路为例，其动态微分方程可表示为 $$\frac{dV_C(t)}{dt} + \frac{1}{\tau}V_C(t) = \frac{1}{\tau}V_S(t)$$ 根据三要素法可得方程的解为 $$V_C(t) = (V_C(0+) - V_{C\infty}(0+))e^{-t/\tau} + V_{C\infty}(t)$$ 其中，时间常数$\tau =RC$

频域特性

在频域分析时，采用相量法，得到电容的阻抗为$X_C=\frac{1}{j\omega C}$，电感的阻抗为$X_L=j\omega L$，从而将微分方程简化为线性方程

对于一阶 RC 电路，其方程可表示为 $$\frac{1}{j\omega C}I+IR=V_S$$ 可得$$I=\frac{V_S}{R+\frac{1}{j\omega C}}$$ 电容电压$$V_C=I\frac{1}{j\omega C}=\frac{V_S}{1+j\omega RC}= \frac{V_S}{1+j\omega\tau}$$ 电阻电压$$V_R=IR=\frac{j\omega RC}{1+j\omega RC}V_S= \frac{j\omega\tau}{1+j\omega\tau}V_S$$ 将输出端口接在电容两端，则为一阶低通滤波器；接在电阻两端，则为一阶高通滤波器

1.1 RC / RL 滤波器

结构

特性

一阶低通滤波器的传递函数为 $$H(j\omega) = \frac{1}{1+j\omega RC} = \frac{1}{1+j\omega\tau}$$ 伯特图（之后补充图）

一阶高通滤波器的传递函数为 $$H(j\omega) = \frac{j\omega RC}{1+j\omega RC}= \frac{j\omega\tau}{1+j\omega\tau}$$ 伯特图（之后补充图）

共同特点 * 一阶频响： 系统具有单一极点，幅频特性在截止频率 $f_c = \frac{1}{2\pi RC}$（或 $\frac{R}{2\pi L}$）处下降 3dB，随后阻带以 -20dB/dec 的斜率衰减。 * 时域瞬态： 阶跃响应呈现指数形态的充放电过程，系统状态的建立速度由时间常数 $\tau = RC$（或 $\tau = L/R$）严格决定。 * 阻抗渐近性： 在极端频率下（$\omega \to 0$ 或 $\omega \to \infty$），储能元件表现出理想的开路或短路特性，利用阻抗分压原理即可快速定性判断其滤波类型。

功能应用 * 多级放大器之间的简单交流耦合 (AC coupling)，用于隔离直流工作点并抑制极低频的基线漂移。 * 直流电源与模拟基准电压的纹波平滑及旁路去耦。

1.2 开关电容积分器 (Switched-Capacitor Integrator)

利用开关控制和电容充放电等效电阻特性，常用于连续时间积分器的离散化实现

结构

见课本P715 图 E9.2.45 * 核心器件： 由两相非重叠时钟（$\Phi, \overline{\Phi}$）驱动的 MOS 开关网络。 * 储能网络： 采样电容 $C_1$ 与积分电容 $C$。 * 有源模块： 高增益运算放大器（OTA / Op-Amp）。 * 典型操作（差分输入单端输出拓扑）： $\Phi$ 相位采样，$\overline{\Phi}$ 相位积分转移电荷。在现代混合信号集成电路设计中，为提高共模抑制比，通常采用全差分拓扑。

特性 * 等效电阻与匹配精度： 开关与采样电容网络宏观上等效为电阻 $R_{eq} = \frac{1}{f_{clk}C_1}$。积分增益常数仅依赖于时钟频率和电容的比值（$\frac{C_1}{C}$），极大降低了电路对半导体工艺偏差的敏感度。 * 数学推导（时域到 Z 域）： * 采样阶段 (时钟 $\Phi$ 为高电平)： 设此时刻为 $t - \frac{T}{2}$，采样电容 $C_1$ 跨接在差分输入端，其存储的电荷量为： $$Q_{C1}(t - \frac{T}{2}) = C_1 \left[ v_{IN}^-(t - \frac{T}{2}) - v_{IN}^+(t - \frac{T}{2}) \right]$$ * 积分/转移阶段 (时钟 $\overline{\Phi}$ 为高电平)： 在 $t$ 时刻，电容 $C_1$ 接入运放虚地节点并被完全放电，其上电荷 $\Delta Q$ 转移至积分电容 $C$ 上。根据电荷守恒，转移电荷量 $$\Delta Q = C_1 \left[ v_{IN}^-(t - \frac{T}{2}) - v_{IN}^+(t - \frac{T}{2}) \right]$$

 此时输出电压更新为： 
$$v_{OUT}(t)=v_{OUT}(t-T)-\frac{\Delta Q}{C} $$


 令差分输入 $v_{id} = v_{IN}^+ - v_{IN}^-$，代入整理得时域差分方程： $$v_{OUT}(t) = v_{OUT}(t - T) + \frac{C_1}{C} v_{id}(t - \frac{T}{2})$$ 
 * **Z 域传递函数：** 对上述方程进行 Z 变换（注意半个周期的延迟对应 $z^{-1/2}$）： $$V_{OUT}(z) = z^{-1}V_{OUT}(z) + \frac{C_1}{C} z^{-1/2} V_{id}(z)$$ 整理得到离散时间积分器的理想传递函数： $$H(z) = \frac{V_{OUT}(z)}{V_{id}(z)} = \frac{C_1}{C} \frac{z^{-1/2}}{1 - z^{-1}}$$

功能应用 * 高精度的离散时间模拟信号处理系统。 * Sigma-Delta ADC（高分辨率数据转换器）中的核心环路滤波器。 * 低噪声采集系统前端的开关电容增益级与噪声抑制网络。

1.3 整流器 (Rectifier)

结合非线性器件（如二极管）与 RC 滤波，实现交流信号向直流信号的转换。

结构

见书P717 图9.1.3 * 核心器件： 完整的二极管半波整流器（或全波、桥式整流器）。为了简化分析，二极管通常被抽象为理想整流开关（分段线性化），即正偏导通时视为零电阻的闭合开关，反偏截止时视为完全开路的断开开关。 * 储能与平滑网络： 在负载电阻两端并联一个大电容 $C$，以实现低通滤波作用。 * 负载： 等效负载电阻 $R_L$，其从电容吸收的直流电流大小为 $I_L$（近似为 $V_p/R_L$）。

特性 * “快充慢放”工作过程： * 快速充电（起）： 在正弦波输入信号高于电容电压时，二极管正偏导通。此时输入端恒压源对电容进行快速充电，电容电压随输入电压同步变化并上升至最高点。 * 慢速放电（伏）： 当输入电压从最高点回落时，由于电容电压暂持高位，导致二极管 P 端电压回落从而反偏截止。此时二极管支路完全开路，电容只能通过负载电阻 $R_L$ 进入缓慢放电模式。这种长时间的“伏”就形成了输出起伏，即纹波。 * 纹波电压 (Ripple Voltage) 的近似计算： * 由于放电时间常数 $\tau = R_L C$ 很大，电容放电曲线在一个周期内可近似视为恒流线性放电，即 $v_L(t) \approx V_p(1 - \frac{t}{R_L C})$。 * 假设整个周期电容都在放电，对于半波整流器，其纹波电压大小近似为 $\Delta V_r \approx \frac{I_L}{f_{in}C}$。 * 对于全波整流或桥式整流器，其输出直流电压上的纹波大小则减半，为 $\Delta V_r \approx \frac{I_L}{2f_{in}C}$。 * 影响纹波大小的三大因素： * 电容 $C$： 电容越大，其上存储的电荷量就大，负载从中抽取的电荷相对就小，电容电压变化小，纹波越小。 * 负载电流 $I_L$： 负载电流越小（即负载电阻很大），从电容上抽取的电荷量就越小，电压下降自然越小，纹波越小。 * 正弦频率 $f_{in}$： 频率越高，电荷抽取时间（近似为一个周期）越短，电容电压变化就越小。但不能一味通过增加频率来降低纹波；当正弦波频率过高时，并联在等效开关两端的整流二极管寄生电容就会起作用，导致开关整流特性不复存在，从而无法完成信号变换功能。

功能应用 * 完成从正弦信号到半波或全波的信号变换功能。 * 配合低通滤波电容，在负载端输出近似理想的直流电压，为后端电路提供能源供应。

1.4 张弛振荡器 (Relaxation Oscillator)

利用 RC 电路的充放电延迟特性结合阈值开关（如比较器），产生方波或三角波等非正弦信号。

结构 * 核心构件： 张弛振荡器的基本构件主要有两个：具有比较功能的双稳器件与动态元件（电容或电感）。其中，具有比较功能的双稳器件可以是 S 型或 N 型负阻、施密特触发器，或是具有正反馈连接机制的晶体管电路。 * 经典运放结构（带负反馈的施密特触发器）： * 正反馈网络（双稳器件）： 将运放输出端电压 $v_o$ 通过电阻分压网络（$R_1$ 和 $R_2$）反馈到运放的同相输入端，分压信号为 $v_p = F_p v_o = v_o \cdot \frac{R_1}{R_1+R_2}$，形成了反相施密特触发器。 * 充放电延迟网络： 在反相施密特触发器的基础上添加一条负反馈通路，即电阻 $R$ 连接在运放输出端与反相输入端之间，电容 $C$ 连接在反相输入端与地之间。 * 负阻等效模型： 从相图分析的角度，张弛振荡可以等效为直流工作点在负阻区的 S 型负阻与电容 $C$ 对接，或是 N 型负阻与电感 $L$ 对接。上述的经典运放电路即可被建模为端点伏安特性为 S 型负阻的单端口网络。

特性 * 状态转移与动态充放电机制： * 运放无法稳定在由于正反馈形成的线性区，必定会脱离线性区而进入饱和区工作（正饱和电压 $+V_{sat}$ 或负饱和电压 $-V_{sat}$）。 * 当运放处于正饱和区时，输出端相当于 $+V_{sat}$ 的恒压源，此时同相端阈值电压为 $v_p = +F_p V_{sat}$。该恒压源通过电阻 $R$ 对电容 $C$ 进行正向充电，使得反相端电压（即电容电压 $v_c$）逐渐升高。 * 当电容电压 $v_c$ 升高至略微超过 $+F_p V_{sat}$ 时，正反馈机制会导致运放输出产生跳变，翻转进入负饱和区（$-V_{sat}$）。 * 运放输出跳变至 $-V_{sat}$ 后，同相端阈值随之改变为 $v_p = -F_p V_{sat}$。此时输出端视为 $-V_{sat}$ 恒压源，通过 $R$ 对电容 $C$ 进行反向充电，使得电容电压 $v_c$ 逐渐下降。 * 当 $v_c$ 下降到略低于 $-F_p V_{sat}$ 时，输出再次发生跳变，翻转回正饱和区。双稳器件在两个暂稳态之间如此往复对动态元件充放电，便形成了张弛振荡。 * 输出波形与占空比： 运放的输出电压 $v_o(t)$ 在正负饱和电压之间来回跳变，形成占空比为 50% 的方波。电容电压 $v_c(t)$ 则呈现出在 $+F_p V_{sat}$ 和 $-F_p V_{sat}$ 之间起伏的近似三角波（由指数充放电曲线构成）。 * 振荡周期定量计算： * 振荡器停留在暂稳态 1（输出 $-V_{sat}$）和暂稳态 2（输出 $+V_{sat}$）的时间相等，分别为 $$T_1 = T_2 = RC \ln \frac{1+F_p}{1-F_p} = RC \ln(1 + \frac{2R_1}{R_2})$$ * 完整周期公式为：$$T = T_1 + T_2 = 2RC \ln(1 + \frac{2R_1}{R_2})$$ * 在实际应用中，一种常见的取值方法是令 $R_1 = R_2$，此时振荡器的周期完全由 RC 时间常数决定，简化为 $T = 2RC \ln 3 \approx 2.2RC$。

功能应用 * 利用双稳器件提供的能量和稳定状态，通过对动态元件的充放电，直接产生包含丰富谐波的周期信号（如方波或三角波），满足系统中对于多谐振荡波形的需求。

元件	端口约束方程
电阻R	\(V=IR\)
电容C	\(I=C\frac{dV}{dt}\)
电感L	\(V=L \frac{dI}{dt}\)

一、 动态电路 (Dynamic Circuits)