二阶电路

2. 二阶电路 (Second-Order Circuits)

核心方程与求解思路

时域特性

状态变量与特征方程： * 针对 RLC 串联电路建立模型时，通常选取电容电压 $v_C$ 和电感电流 $i_L$ 两个独立的物理量作为状态变量列写方程。 * 经过整理，系统的标准二阶微分方程形式为 $$\frac{d^2v_C}{dt^2} + 2\xi\omega_0\frac{dv_C}{dt} + \omega_0^2v_C = \omega_0^2V_S$$ * 该系统特征方程求得的根为 $$\lambda = -\xi\omega_0 \pm \sqrt{\xi^2-1}\omega_0$$

阻尼状态判定： * 当 $\xi > 1$ 时，系统处于过阻尼状态，特征根为$\lambda = -\xi\omega_0 \pm \sqrt{\xi^2-1}\omega_0$ * 当 $\xi = 1$ 时，系统处于临界阻尼状态，此时特征根为重根 $\lambda = -\omega_0$ * 当 $0 < \xi < 1$ 时，系统处于欠阻尼状态，特征根为一对共轭复根 $\lambda = -\xi\omega_0 \pm j\sqrt{1-\xi^2}\omega_0$ * 对于复杂的二阶电路，其时域全响应可采用“五要素法”根据初始状态和稳态直接写出

频域特性

频域传递函数： * 对于经典的RLC串联电路，频域方程可写为$$I(j\omega L+R+\frac{1}{j\omega C})=V_S$$ * 令$\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$，$\xi=\frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}$，可得二阶系统的通用传递函数分母恒定为 $$s^2 + 2\xi\omega_0 s + \omega_0^2$$改变分子形式可构成不同特性的滤波器。

2.1 RLC滤波器

结构

RLC滤波器通常由RLC串联或并联电路组成，将输出端口接在不同元件上，可以得到不同类型的滤波器

特性&功能应用

二阶RLC滤波器的传递函数如下表所示 | 传递函数 | 滤波器类型 | |--|--| | $\frac{\omega_0^2}{s^2 + 2\xi\omega_0 s + \omega_0^2}$ | 二阶低通 | | $\frac{2\xi\omega_0 s}{s^2 + 2\xi\omega_0 s + \omega_0^2}$ | 二阶带通 | | $\frac{\omega_0^2+s^2}{s^2 + 2\xi\omega_0 s + \omega_0^2}$ |二阶带阻 | $\frac{s^2}{s^2 + 2\xi\omega_0 s + \omega_0^2}$ | 二阶高通|

2.1.1 二阶低通滤波器

频域特性

传递函数$$H(s)=H_0\frac{\omega_0^2}{s^2 + 2\xi\omega_0 s + \omega_0^2}$$ 幅频特性和相频特性分别为 $$A(\omega)=H_0\frac{\omega_0^2}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+(2\xi\omega_0\omega)^2}}$$ $$\varphi(\omega)=-\mathrm{arctan}\frac{2\xi\omega_0\omega}{\omega_0^2-\omega^2}$$ 为描述相频曲线的变化情况，定义群延时为$$\tau_g(\omega)=-\frac{d\varphi(\omega)}{d\omega}=\frac{2\xi\omega_0(\omega^2+\omega_0^2)}{\omega^4+2(2\xi^2-1)\omega_0^2\omega^2+\omega_0^4}$$ 从图像上来看（之后补充），二阶低通滤波器有如下特点 * $\xi>1$，过阻尼，幅频特性可按三段折线处理（分解为两个一阶系统的级联） * $0.707≤\xi≤1$，幅频特性平坦，可两端折线处理 $\xi=0.707$时，达到幅度最大平坦 $\xi=0.866$时，达到群延时最大平坦 * $\xi\ll0.707$，自由振荡频点附近有谐振峰出现谐振峰频点$\omega_e=\sqrt{1-2\xi^2}\omega_0$ 谐振峰高度$A(\omega_e)=\frac{1}{2\xi\sqrt{1-\xi^2}}>1$ 阻尼系数$\xi\ll0.707$时，$\omega_e\approx\omega_0$，$A(\omega_e)\approx\frac{1}{2\xi}=Q$ * 3dB带宽$\omega_{3dB}=\omega_0\sqrt{-2\xi^2+1+\sqrt{(2\xi^2-1)^2+1}}$

时域特性

	冲激响应	阶跃响应
无阻尼	$h(t)=\omega_0\mathrm{sin}(\omega_0t)U(t)$	$g(t)=(1-\mathrm{cos}(\omega_0t))U(t)$
欠阻尼	$h(t)=\frac{\omega_0}{\sqrt{1-\xi^2}}e^{-\xi\omega_0t}\mathrm{sin}(\sqrt{1-\xi^2}\omega_0t)U(t)$	$g(t)=(1-e^{-\xi\omega_0t}(\mathrm{cos}\sqrt{1-\xi^2}\omega_0t+\frac{\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}\mathrm{sin}\sqrt{1-\xi^2}\omega_0t))U(t)$
过阻尼	$h(t)=\frac{\omega_0}{2\sqrt{1-\xi^2}}(e^{-\frac{t}{\tau_1}}-e^{-\frac{t}{\tau_2}})U(t)$	$$g(t)=\left[1-\frac{\tau_1}{\tau_1-\tau_2} e^{-\frac{t}{\tau_1}}+\frac{\tau_2}{\tau_1-\tau_2} e^{-\frac{t}{\tau_2}}\right] U(t)$$

2.1.2 二阶高通滤波器

频域特性

传递函数为 $$H(\omega)=H_0\frac{s^2}{s^2 + 2\xi\omega_0 s + \omega_0^2}$$ 幅频特性和相频特性分别为 $$A(\omega)=H_0\frac{\omega^2}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+(2\xi\omega_0\omega)^2}}$$ $$\varphi(\omega)=\pi-\mathrm{arctan}\frac{2\xi\omega_0\omega}{\omega_0^2-\omega^2}$$ 谐振峰、幅度最大平坦等频域特性的分析类似于二阶低通

时域特性

（仅分析欠阻尼情况） * 冲激响应$h(t)=\delta(t)+\omega_0e^{-\xi\omega_0t}[-2\xi \mathrm{cos}\sqrt{1-\xi^2}\omega_0t+\frac{2\xi^2-1}{\sqrt{1-\xi^2}}\mathrm{sin}\sqrt{1-\xi^2}\omega_0t]U(t)$ * 阶跃响应$g(t)=e^{-\xi\omega_0t}(\mathrm{cos}\sqrt{1-\xi^2}\omega_0t-\frac{\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}\mathrm{sin}\sqrt{1-\xi^2}\omega_0t))U(t)$

2.1.3 二阶带通滤波器

（带阻滤波器的分析可参考带通处理）

频域特性

传递函数为$$H(\omega)=H_0\frac{2\xi\omega_0 s}{s^2 + 2\xi\omega_0 s + \omega_0^2}$$

幅频响应与相频响应为

$$A(f) = H_0\frac{1}{\sqrt{1+Q^2(\frac{\omega}{\omega_0}-\frac{\omega_0}{\omega})^2}}$$ $$\varphi(\omega)=-\mathrm{arctan} Q(\frac{\omega}{\omega_0}-\frac{\omega_0}{\omega})$$ * 3dB通频带$Q(\frac{f}{f_0}-\frac{f_0}{f})=±1$

系统的 3dB 带宽计算公式为 $BW_{3dB} = f_2 - f_1 = \frac{f_0}{Q}$。
其上下限截止频率在对数坐标系下满足几何对称关系，即 $f_1 f_2 = f_0^2$。

时域特性

（仅分析欠阻尼情况） * 冲激响应$h(t)=2\xi\omega_0e^{-\xi\omega_0t}(\mathrm{cos}\sqrt{1-\xi^2}\omega_0t-\frac{\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}\mathrm{sin}\sqrt{1-\xi^2}\omega_0t)U(t)$ * 阶跃响应$g(t)=\frac{2\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}e^{-\xi\omega_0t}\mathrm{sin}\sqrt{1-\xi^2}\omega_0t\cdot U(t)$

2.2 阻抗匹配网络 (Impedance Matching Network)

利用 L、C 元件在特定频率下的电抗抵消特性，实现源端与负载间的最大功率传输。 基本思路 利用LC网络在谐振峰频点上实现强制匹配 * 串联谐振是电压谐振 * 并联谐振是电流谐振

设计口诀：并大串小Q相等 * $R_S$/$R_L$中较大的与L/C并联，较小的与之串联 * $Q=\sqrt{\frac{R_p}{R_s}-1}$

	L	C
串联电抗\电阻	$Q=\frac{\omega L_s}{R_s}$	$Q=\frac{1}{\omega R_s C_s}$
并联电纳\电导	$Q=\frac{R_p}{\omega L_p}$	$Q=\omega R_pC_p$

2.3 正弦波振荡 (Sine Wave Oscillation)

结合 RLC 选频网络与放大器正反馈，产生单一频率的稳定正弦波信号（如 LC 振荡器）。

2.3.1 负阻振荡器

原理

在LC谐振腔中添加负阻功能，抵偿正阻耗能，整体看等效为纯LC谐振腔

振荡条件

回路类型	RLC串联谐振	RLC并联谐振
负阻类型	S型负阻	N型负导
起振条件	$r_n>R_s$	$g_n>G_p$
平衡条件	$r_n=R_s$	$g_n=G_p$
稳定条件	$r_n$随幅度增加单调下降	$g_n$随幅度增加单调下降
#### 2.3.2 正弦波振荡器
原理

以LC谐振腔为主体，在特定频点实现正反馈，导致该频率的信号越来越强，直至进入放大器非线性工作区，输出稳定正弦波

振荡条件

	幅度条件	相位条件
起振条件	$\vert A_0F\vert>1$	$\varphi_{A_0F}(\omega_{OSC})=0$
平衡条件	$\vert \overline{A}F\vert=1$	$\varphi_{\overline{A}F}(\omega_{OSC})=0$
	$V_{im}=V_{im\infty}$	$\omega=\omega_{OSC}$
起振条件	$\frac{\partial\vert \overline{A}F\vert }{\partial V_{im}}\vert_{V_{im}=V_{im\infty}}<0$	$\frac{\partial\varphi_{\overline{A}F} }{\partial \omega}\vert_{\omega=\omega_{OSC}}<0$

典型应用 * 文氏电桥振荡器 * RC移相正弦振荡器 * 三点式正弦振荡器

2.4 DC-AC/DC-DC转换器

2.4.1 DC-AC 转换器（逆变器）

结构 * 基本构件：直流源和开关。 * 直流源提供直流能量，开关的通断实现直流到交流的转换。 * 电路中通常包含变压器，用以隔离直通交流功能，解决正负直流电源问题。 * 若希望获得正弦波形态的交流输出，在接入负载前需增加带通或低通滤波器。

特性与分析 * 逆变器关注点在于能量转换，对转换效率有明确要求。 * 理想开关不消耗能量，理论转换效率为 $100\%$。 * 开关控制信号来自外部时，逆变器可视作开关型放大器（D类放大器利用二阶带通/低通用于滤取基波；E类增加滤波器的动态元件缓解动态功耗；F类利用传输线或LC谐振腔改造波形，使其更接近理想方波）。

功能应用 * 完成直流能量到交流能量的转换。

2.4.2 DC-DC 转换器

结构 * 利用电感、电容的储能作用，配合晶体管（开关）和二极管的通断来完成工作。

特性与分析 * 效率对比：传统的串联型线性稳压电路（降压型）效率低下，消耗在晶体管和负载上的功率之比为 $(V_I-V_O):V_O$，压差越大，晶体管功耗越大。 * 高效率：DC-DC 利用开关通断实现电感/电容充放能，理想元件不耗能，理论效率可达 $100\%$。 * 稳态分析方法：电路进入稳态后，由磁通守恒（能量守恒）可知充入磁通等于释放磁通，利用此关系式可大大简化分析。

功能应用 * 将不稳定或缓变的直流电压变换为稳定的直流电压输出（稳压器）。 * 可产生高于电源电压的大电压（电感维持电流连续）或大电流（电容维持电压连续）。

1、降压型DC-DC转换器（Buck） * 结构 * 包含控制开关（晶体管）、续流二极管 $D$、滤波电感 $L$、电容 $C$ 和负载 $R_L$。 * 特性与公式推导 * 充磁阶段 ($CTR=1$, 时间 $DT_c$)：晶体管导通，二极管截止。电感电流线性增长： $$i_L(DT_c) = I_{L0} + \frac{V_I - V_O}{L}DT_c = I_{L1}$$ * 放磁阶段 ($CTR=0$, 时间 $(1-D)T_c$)：晶体管断开，二极管导通续流。电感两端电压为 $-V_O$，电流线性下降： $$i_L(T_c) = I_{L1} - \frac{V_O}{L}(1 - D)T_c = I_{L0}$$ * 输出电压 (磁通守恒)：联立上述两式，开关闭合期获得的磁通量等于断开期失去的磁通量： $$(V_I - V_O)DT_c = V_O(1 - D)T_c$$ 推导得出输出电压公式： $$V_O = DV_I$$ * 纹波分析：假设输出电压在 $V_O$ 上下微小波动，充放电导致的电荷变化量推导出纹波电压： $$\pm \Delta V = \pm \frac{\Delta Q}{C} = \pm \frac{1}{8}\frac{T_c^2}{LC}(1 - D)V_O$$ 显然 $L$、$C$ 越大，纹波越小。 * 功能应用 * 占空比 $0 < D < 1$，输出电压始终小于输入电压，实现降压。

2、升压型 DC-DC 转换器（Boost）

结构
- 电感 $L$ 串联在输入端，控制开关并联到地，二极管 $D$ 串联在输出支路防止电容反向放电。
特性与公式推导
- 充磁阶段 ($CTR=1$, 时间 $DT_c$)：晶体管导通，电感两端电压为 $V_I$，电流线性增长： $$i_L(DT_c) = I_{L0} + \frac{V_I}{L}DT_c = I_{L1}$$
- 放磁阶段 ($CTR=0$, 时间 $(1-D)T_c$)：晶体管断开，二极管导通，电感两端电压为 $V_I - V_O$，电流变化： $$i_L(T_c) = I_{L1} + \frac{V_I - V_O}{L}(1 - D)T_c = I_{L0}$$
- 输出电压 (磁通守恒)：充磁获得的磁通量等于放磁失去的磁通量： $$V_I DT_c = (V_O - V_I)(1 - D)T_c$$ 推导得出输出电压公式： $$V_O = \frac{V_I}{1 - D}$$
- 纹波分析：二极管电流波动的剩余电流对电容充放电，输出电压纹波为： $$\pm \Delta V = \pm \frac{\Delta Q}{C} = \pm \frac{I_{D0}DT_c}{C} = \pm \frac{T_c}{R_LC}DV_O$$
功能应用
- 占空比 $0 < D < 1$，故 $V_O > V_I$，实现升压。

3、升降压型 DC-DC 转换器（Buck-Boost）

结构
- 晶体管串联在输入端，电感 $L$ 并联在开关和二极管之间。
特性与公式推导
- 充磁阶段 ($CTR=1$)：晶体管导通，电感获得磁通增量： $$\Delta\Phi_1 = V_I DT_c$$
- 放磁阶段 ($CTR=0$)：晶体管断开，二极管导通，电感两端电压为 $-V_O$，电感磁通增量为： $$\Delta\Phi_2 = -V_O(1 - D)T_c$$
- 输出电压 (磁通守恒)：充电获得磁通等于放磁失去磁通 $\Delta\Phi_1 = -\Delta\Phi_2$： $$V_I DT_c = V_O(1 - D)T_c$$ 推导得出输出电压公式： $$V_O = \frac{D}{1 - D}V_I$$
功能应用
- 当占空比 $D > 0.5$ 时，$V_O > V_I$，相当于升压型转换器。
- 当占空比 $D < 0.5$ 时，$V_O < V_I$，相当于降压型转换器。

	冲激响应	阶跃响应
无阻尼	\(h(t)=\omega_0\mathrm{sin}(\omega_0t)U(t)\)	\(g(t)=(1-\mathrm{cos}(\omega_0t))U(t)\)
欠阻尼	\(h(t)=\frac{\omega_0}{\sqrt{1-\xi^2}}e^{-\xi\omega_0t}\mathrm{sin}(\sqrt{1-\xi^2}\omega_0t)U(t)\)	\(g(t)=(1-e^{-\xi\omega_0t}(\mathrm{cos}\sqrt{1-\xi^2}\omega_0t+\frac{\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}\mathrm{sin}\sqrt{1-\xi^2}\omega_0t))U(t)\)
过阻尼	\(h(t)=\frac{\omega_0}{2\sqrt{1-\xi^2}}(e^{-\frac{t}{\tau_1}}-e^{-\frac{t}{\tau_2}})U(t)\)	$\(g(t)=\left[1-\frac{\tau_1}{\tau_1-\tau_2} e^{-\frac{t}{\tau_1}}+\frac{\tau_2}{\tau_1-\tau_2} e^{-\frac{t}{\tau_2}}\right] U(t)\)$

	L	C
串联电抗\电阻	\(Q=\frac{\omega L_s}{R_s}\)	\(Q=\frac{1}{\omega R_s C_s}\)
并联电纳\电导	\(Q=\frac{R_p}{\omega L_p}\)	\(Q=\omega R_pC_p\)

	幅度条件	相位条件
起振条件	\(\vert A_0F\vert>1\)	\(\varphi_{A_0F}(\omega_{OSC})=0\)
平衡条件	\(\vert \overline{A}F\vert=1\)	\(\varphi_{\overline{A}F}(\omega_{OSC})=0\)
	\(V_{im}=V_{im\infty}\)	\(\omega=\omega_{OSC}\)
起振条件	\(\frac{\partial\vert \overline{A}F\vert }{\partial V_{im}}\vert_{V_{im}=V_{im\infty}}<0\)	\(\frac{\partial\varphi_{\overline{A}F} }{\partial \omega}\vert_{\omega=\omega_{OSC}}<0\)